微分方程：欧拉法与 RK4

路线进度模块 3/4 · 主题 2/2

3.2 微分方程：欧拉法与 RK4

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

跟随变化率

微分方程描述一个量变化得多快： $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$ 。以连续利率 $r$ 增长的资金满足 $\frac{dy}{dt}=ry$ ，解为 $y_0e^{rt}$ 。被拉回长期水平 $\theta$ 的短期利率满足 $\frac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ 。很少有方程能写出解的公式，所以我们数值地沿时间前进。

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

欧拉法沿切线走一个短步长 $h$ ：新值 = 旧值 + 步长 × 斜率。它简单，但只有一阶精度：步长减半，误差也减半。四阶龙格-库塔法（RK4）每步取四次斜率并加权混合， $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ ，其误差按 $h^4$ 缩小：步长减半，误差降为原来的 1/16。

增长率为 1 的两种算法用

h=0.5

解

y'=y

、

y(0)=1

到

t=1

。欧拉法：

y_1=1+0.5\cdot1=1.5

，

y_2=1.5+0.5\cdot1.5=2.25

，而

e=2.7183

，误差 0.4683。RK4 走一步到

t=0.5

：

k_1=1

，

k_2=1.25

，

k_3=1.3125

，

k_4=1.65625

，所以

y=1+\frac{0.5}{6}(1+2.5+2.625+1.65625)=1.6484

，真值为

e^{0.5}=1.6487

。

欧拉法： $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ ，一阶精度。
RK4：每步取四次斜率，权重为 1、2、2、1；四阶精度。
截断误差：用步进代替精确求解所损失的部分。

更小的步长并非没有代价步长减半意味着步数翻倍。超过某个点后，截断误差不再重要，舍入误差反而增大；某些刚性方程如果步长不够小还会发散。在相信结果之前，先比较两种步长来估计误差。

实验：评分内容

欧拉法两步15 分
欧拉法的误差15 分
一步 RK420 分
精度阶数10 分
步长减半15 分
欧拉法的循环10 分
为什么 RK4 优于欧拉法15 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

考虑 $y'=y$ ， $y(0)=1$ ，步长 $h=0.5$ 。做两步欧拉法，给出 $y_2$ （ $y(1)$ 的估计值）。

y_2 =

允许误差:± 0.001

2数值作答15 分未作答

考虑 $y'=y$ ， $y(0)=1$ ，步长 $h=0.5$ 。精确解为 $y(1)=e=2.7183$ 。欧拉估计 $y_2=2.25$ 与之相差多少？

\text{error} =

允许误差:± 0.001

3数值作答20 分未作答

考虑 $y'=y$ ， $y(0)=1$ ，步长 $h=0.5$ 。从 $t=0$ 做一步 RK4，给出 $y(0.5)$ 的估计 $y_1$ ，保留 4 位小数。对 $f(t,y)=y$ ： $k_1=y_n$ ， $k_2=y_n+\frac{h}{2}k_1$ ， $k_3=y_n+\frac{h}{2}k_2$ ， $k_4=y_n+hk_3$ 。

y_1 =

允许误差:± 0.0002

4选择10 分未作答

欧拉法和 RK4 的精度阶数分别是多少？

5数值作答15 分未作答

欧拉法在步长 $h=0.1$ 时误差为 0.08。步长 $h=0.05$ 时大约会是多少？

\text{error} =

允许误差:± 0.005

6排列步骤10 分未作答

给一次欧拉迭代的步骤排序。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1更新 $y\leftarrow y+h\cdot\text{斜率}$
2从初值 $t_0$ 和 $y_0$ 开始
3推进时间 $t\leftarrow t+h$ 并重复
4在当前点计算斜率 $f(t,y)$

7用文字解释15 分未作答

请用两三句话说明，为什么在相同步长下 RK4 通常比欧拉法更精确，以及它的代价。

评分依据:每步多次计算斜率步长变小时误差缩小得快得多每一步的计算量更大0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

微分方程：欧拉法与 RK4

路线进度模块 3/4 · 主题 2/2

3.2 微分方程：欧拉法与 RK4

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

跟随变化率

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

增长率为 1 的两种算法用

h=0.5

解

y'=y

、

y(0)=1

到

t=1

。欧拉法：

y_1=1+0.5\cdot1=1.5

，

y_2=1.5+0.5\cdot1.5=2.25

，而

e=2.7183

，误差 0.4683。RK4 走一步到

t=0.5

：

k_1=1

，

k_2=1.25

，

k_3=1.3125

，

k_4=1.65625

，所以

y=1+\frac{0.5}{6}(1+2.5+2.625+1.65625)=1.6484

，真值为

e^{0.5}=1.6487

。

欧拉法： $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ ，一阶精度。
RK4：每步取四次斜率，权重为 1、2、2、1；四阶精度。
截断误差：用步进代替精确求解所损失的部分。

实验：评分内容

欧拉法两步15 分
欧拉法的误差15 分
一步 RK420 分
精度阶数10 分
步长减半15 分
欧拉法的循环10 分
为什么 RK4 优于欧拉法15 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

考虑 $y'=y$ ， $y(0)=1$ ，步长 $h=0.5$ 。做两步欧拉法，给出 $y_2$ （ $y(1)$ 的估计值）。

y_2 =

允许误差:± 0.001

2数值作答15 分未作答

考虑 $y'=y$ ， $y(0)=1$ ，步长 $h=0.5$ 。精确解为 $y(1)=e=2.7183$ 。欧拉估计 $y_2=2.25$ 与之相差多少？

\text{error} =

允许误差:± 0.001

3数值作答20 分未作答

y_1 =

允许误差:± 0.0002

4选择10 分未作答

欧拉法和 RK4 的精度阶数分别是多少？

5数值作答15 分未作答

欧拉法在步长 $h=0.1$ 时误差为 0.08。步长 $h=0.05$ 时大约会是多少？

\text{error} =

允许误差:± 0.005

6排列步骤10 分未作答

给一次欧拉迭代的步骤排序。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1更新 $y\leftarrow y+h\cdot\text{斜率}$
2从初值 $t_0$ 和 $y_0$ 开始
3推进时间 $t\leftarrow t+h$ 并重复
4在当前点计算斜率 $f(t,y)$

7用文字解释15 分未作答

请用两三句话说明，为什么在相同步长下 RK4 通常比欧拉法更精确，以及它的代价。

评分依据:每步多次计算斜率步长变小时误差缩小得快得多每一步的计算量更大0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

微分方程：欧拉法与 RK4

跟随变化率

实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。

微分方程：欧拉法与 RK4

跟随变化率

实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。