المعادلات التفاضلية: أويلر وRK4

تتبّع معدل التغيّر

تذكر المعادلة التفاضلية مدى سرعة تغيّر كمية: $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$. المال الذي ينمو بمعدل مستمر $r$ يحقق $\frac{dy}{dt}=ry$ وحله $y_0e^{rt}$. والمعدل القصير الذي يُسحب نحو مستوى طويل الأجل $\theta$ يحقق $\frac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$. قليل من المعادلات له حل بصيغة، لذا نتقدم عبر الزمن عدديًا.

تتبع طريقة أويلر المماس لخطوة قصيرة $h$: القيمة الجديدة = القيمة القديمة + الخطوة × الميل. وهي بسيطة لكن دقتها من الرتبة الأولى فقط: تنصيف $h$ ينصّف الخطأ. أما رونج–كوتا من الرتبة 4 (RK4) فتأخذ الميل أربع مرات في كل خطوة وتمزجها، $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$، ويتناقص خطؤها بنسبة $h^4$: تنصيف $h$ يقسمه على 16.

• أويلر: $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ بدقة من الرتبة الأولى.
• RK4: أربعة ميول في كل خطوة بأوزان 1 و2 و2 و1؛ دقة من الرتبة الرابعة.
• خطأ البتر: ما يضيع حين نتقدم بخطوات بدل الحل الدقيق.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• خطوتا أويلر15 نقطة
• خطأ أويلر15 نقطة
• خطوة RK4 واحدة20 نقطة
• رتب الدقة10 نقطة
• تنصيف الخطوة15 نقطة
• حلقة أويلر10 نقطة
• لماذا يتفوق RK4 على أويلر15 نقطة