微分方程式：オイラー法とRK4

スキル上の位置モジュール 3/4 · トピック 2/2

3.2 微分方程式：オイラー法とRK4

—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

変化率を追いかける

微分方程式は、量がどれだけ速く変わるかを表します： $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$ 。連続的な利率 $r$ で増えるお金は $\frac{dy}{dt}=ry$ に従い、解は $y_0e^{rt}$ です。長期水準 $\theta$ に引き戻される短期金利は $\frac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ に従います。解が式で書けるものはまれなので、時間を数値的に進めます。

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

オイラー法は短い歩幅 $h$ だけ接線に沿って進みます：新しい値＝古い値＋刻み×傾き。単純ですが1次精度で、 $h$ を半分にすると誤差も半分になります。4次のルンゲ・クッタ法（RK4）は1ステップで傾きを4回測って混ぜ合わせ、 $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ とします。誤差は $h^4$ で減り、 $h$ を半分にすると16分の1になります。

利率1の成長を2通りで

y'=y

、

y(0)=1

を

h=0.5

で

t=1

まで解きます。オイラー法：

y_1=1+0.5\cdot1=1.5

、

y_2=1.5+0.5\cdot1.5=2.25

で、

e=2.7183

に対して誤差は0.4683です。RK4で

t=0.5

まで1ステップ：

k_1=1

、

k_2=1.25

、

k_3=1.3125

、

k_4=1.65625

なので

y=1+\frac{0.5}{6}(1+2.5+2.625+1.65625)=1.6484

で、真の

e^{0.5}=1.6487

にほぼ一致します。

オイラー法： $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ 、1次精度。
RK4：1ステップで傾きを4回測り、重み1・2・2・1で混ぜる。4次精度。
打ち切り誤差：厳密に解かず刻みで進むことで失われる分。

刻み幅を小さくすると代償がある刻み幅を半分にするとステップ数は2倍になります。ある点を超えると打ち切り誤差は効かなくなり丸め誤差が増え、硬い方程式では刻み幅が十分小さくないと発散します。結果を信じる前に、2つの刻み幅で比べて誤差を見積もりましょう。

ラボ：採点される内容

オイラー法2ステップ15点
オイラー法の誤差15点
RK4の1ステップ20点
精度の次数10点
刻み幅を半分にする15点
オイラー法のループ10点
RK4がオイラー法より優れる理由15点

0/ 7問回答済み

1数値で答える15点未回答

$y'=y$ 、 $y(0)=1$ 、刻み幅 $h=0.5$ を考えます。オイラー法で2ステップ進め、 $y_2$ （ $y(1)$ の推定値）を答えてください。

y_2 =

許容:± 0.001

2数値で答える15点未回答

$y'=y$ 、 $y(0)=1$ 、刻み幅 $h=0.5$ を考えます。厳密解は $y(1)=e=2.7183$ です。オイラー法の推定値 $y_2=2.25$ はどれだけ離れていますか。

\text{error} =

許容:± 0.001

3数値で答える20点未回答

$y'=y$ 、 $y(0)=1$ 、刻み幅 $h=0.5$ を考えます。 $t=0$ からRK4で1ステップ進め、 $y(0.5)$ の推定値 $y_1$ を小数第4位まで答えてください。 $f(t,y)=y$ では $k_1=y_n$ 、 $k_2=y_n+\frac{h}{2}k_1$ 、 $k_3=y_n+\frac{h}{2}k_2$ 、 $k_4=y_n+hk_3$ です。

y_1 =

許容:± 0.0002

4選択10点未回答

オイラー法とRK4の精度の次数はそれぞれいくつですか。

5数値で答える15点未回答

オイラー法は刻み幅 $h=0.1$ で誤差0.08です。 $h=0.05$ ではおよそどれくらいの誤差になりますか。

\text{error} =

許容:± 0.005

6手順を並べ替える10点未回答

オイラー法の1回の反復の手順を並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1 $y\leftarrow y+h\cdot\text{傾き}$ に更新する
2初期値 $t_0$ 、 $y_0$ から始める
3時間を $t\leftarrow t+h$ と進めて繰り返す
4現在の点で傾き $f(t,y)$ を計算する

7言葉で説明する15点未回答

同じ刻み幅でRK4が通常オイラー法より正確な理由と、その代償を2〜3文で説明してください。

採点基準:1ステップで傾きを複数回測る刻み幅を小さくすると誤差がずっと速く減る1ステップあたりの計算量が多い0 / 400文字

数学モードキーボードまたは LaTeX で入力問題1/7 · Ctrl ⏎ で確認

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—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

変化率を追いかける

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

利率1の成長を2通りで

y'=y

、

y(0)=1

を

h=0.5

で

t=1

まで解きます。オイラー法：

y_1=1+0.5\cdot1=1.5

、

y_2=1.5+0.5\cdot1.5=2.25

で、

e=2.7183

に対して誤差は0.4683です。RK4で

t=0.5

まで1ステップ：

k_1=1

、

k_2=1.25

、

k_3=1.3125

、

k_4=1.65625

なので

y=1+\frac{0.5}{6}(1+2.5+2.625+1.65625)=1.6484

で、真の

e^{0.5}=1.6487

にほぼ一致します。

オイラー法： $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ 、1次精度。
RK4：1ステップで傾きを4回測り、重み1・2・2・1で混ぜる。4次精度。
打ち切り誤差：厳密に解かず刻みで進むことで失われる分。

ラボ：採点される内容

オイラー法2ステップ15点
オイラー法の誤差15点
RK4の1ステップ20点
精度の次数10点
刻み幅を半分にする15点
オイラー法のループ10点
RK4がオイラー法より優れる理由15点

0/ 7問回答済み

1数値で答える15点未回答

$y'=y$ 、 $y(0)=1$ 、刻み幅 $h=0.5$ を考えます。オイラー法で2ステップ進め、 $y_2$ （ $y(1)$ の推定値）を答えてください。

y_2 =

許容:± 0.001

2数値で答える15点未回答

$y'=y$ 、 $y(0)=1$ 、刻み幅 $h=0.5$ を考えます。厳密解は $y(1)=e=2.7183$ です。オイラー法の推定値 $y_2=2.25$ はどれだけ離れていますか。

\text{error} =

許容:± 0.001

3数値で答える20点未回答

y_1 =

許容:± 0.0002

4選択10点未回答

オイラー法とRK4の精度の次数はそれぞれいくつですか。

5数値で答える15点未回答

オイラー法は刻み幅 $h=0.1$ で誤差0.08です。 $h=0.05$ ではおよそどれくらいの誤差になりますか。

\text{error} =

許容:± 0.005

6手順を並べ替える10点未回答

オイラー法の1回の反復の手順を並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1 $y\leftarrow y+h\cdot\text{傾き}$ に更新する
2初期値 $t_0$ 、 $y_0$ から始める
3時間を $t\leftarrow t+h$ と進めて繰り返す
4現在の点で傾き $f(t,y)$ を計算する

7言葉で説明する15点未回答

同じ刻み幅でRK4が通常オイラー法より正確な理由と、その代償を2〜3文で説明してください。

採点基準:1ステップで傾きを複数回測る刻み幅を小さくすると誤差がずっと速く減る1ステップあたりの計算量が多い0 / 400文字

数学モードキーボードまたは LaTeX で入力問題1/7 · Ctrl ⏎ で確認

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ラボ：採点される内容

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