Equações diferenciais: Euler e RK4

Posição no roteiroMódulo 3 de 4 · Tópico 2 de 2

3.2 Equações diferenciais: Euler e RK4

—Nota do lab— / 100XP total—Sequência—

Acompanhar uma taxa de variação

Uma equação diferencial diz com que rapidez uma quantidade muda: $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$ . Dinheiro que cresce a uma taxa contínua $r$ obedece a $\frac{dy}{dt}=ry$ , com solução $y_0e^{rt}$ . Uma taxa curta puxada de volta a um nível de longo prazo $\theta$ obedece a $\frac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ . Poucas equações têm solução em fórmula, então avançamos no tempo numericamente.

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

O método de Euler segue a tangente por um passo curto $h$ : valor novo = valor antigo + passo × inclinação. É simples, mas só de primeira ordem: reduzir $h$ à metade reduz o erro à metade. Runge–Kutta de ordem 4 (RK4) amostra a inclinação quatro vezes por passo e as combina, $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ , e seu erro diminui como $h^4$ : reduzir $h$ à metade o divide por 16.

Crescimento à taxa 1, de duas formasResolvamos

y'=y

y(0)=1

até

t=1

com

h=0{,}5

. Euler:

y_1=1+0{,}5\cdot1=1{,}5

y_2=1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25

, contra

e=2{,}7183

, um erro de 0,4683. RK4 para um passo até

t=0{,}5

k_1=1

k_2=1{,}25

k_3=1{,}3125

k_4=1{,}65625

, então

y=1+\frac{0{,}5}{6}(1+2{,}5+2{,}625+1{,}65625)=1{,}6484

, contra o verdadeiro

e^{0{,}5}=1{,}6487

Euler: $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ , precisão de primeira ordem.
RK4: quatro inclinações por passo combinadas com pesos 1, 2, 2, 1; precisão de quarta ordem.
Erro de truncamento: o que se perde ao avançar por passos em vez de resolver exatamente.

Um passo menor não é de graçaReduzir o passo à metade dobra o número de passos. A partir de certo ponto, o erro de arredondamento cresce enquanto o de truncamento deixa de importar, e algumas equações rígidas explodem se o passo não for pequeno o bastante. Compare dois tamanhos de passo para estimar o erro antes de confiar em um resultado.

Lab: o que é avaliado

Dois passos de Euler15 pts
O erro de Euler15 pts
Um passo de RK420 pts
Ordens de precisão10 pts
Reduzindo o passo à metade15 pts
O laço de Euler10 pts
Por que o RK4 supera o Euler15 pts

0/ 7 respondidas

1Resposta numérica15 ptsSem resposta

Considere $y'=y$ com $y(0)=1$ e passo $h=0{,}5$ . Dê dois passos de Euler e informe $y_2$ (a estimativa de $y(1)$ ).

y_2 =

aceito: ± 0.001

2Resposta numérica15 ptsSem resposta

Considere $y'=y$ com $y(0)=1$ e passo $h=0{,}5$ . A solução exata é $y(1)=e=2{,}7183$ . Quanto a estimativa de Euler $y_2=2{,}25$ se afasta?

\text{error} =

aceito: ± 0.001

3Resposta numérica20 ptsSem resposta

Considere $y'=y$ com $y(0)=1$ e passo $h=0{,}5$ . Dê um passo de RK4 a partir de $t=0$ e informe $y_1$ , a estimativa de $y(0{,}5)$ , com 4 casas decimais. Para $f(t,y)=y$ : $k_1=y_n$ , $k_2=y_n+\frac{h}{2}k_1$ , $k_3=y_n+\frac{h}{2}k_2$ , $k_4=y_n+hk_3$ .

y_1 =

aceito: ± 0.0002

4Escolha10 ptsSem resposta

Quais são as ordens de precisão do método de Euler e do RK4?

5Resposta numérica15 ptsSem resposta

O método de Euler tem erro 0,08 com passo $h=0{,}1$ . Que erro você espera aproximadamente com $h=0{,}05$ ?

\text{error} =

aceito: ± 0.005

6Ordenar os passos10 ptsSem resposta

Coloque em ordem os passos de uma iteração de Euler.

Arraste para reordenar, ou foque um item, Espaço para levantá-lo, setas para movê-lo e Espaço para soltá-lo.

1Atualizar $y\leftarrow y+h\cdot\text{inclinação}$
2Partir dos valores iniciais $t_0$ e $y_0$
3Avançar o tempo $t\leftarrow t+h$ e repetir
4Calcular a inclinação $f(t,y)$ no ponto atual

7Explicar com palavras15 ptsSem resposta

Em duas ou três frases, explique por que o RK4 costuma ser mais preciso que o Euler com o mesmo passo e o que isso custa.

Avaliado por:Avalia a inclinação várias vezes por passoSeu erro diminui muito mais rápido quando o passo diminuiCusta mais trabalho por passo0 / 400 caracteres

Modo matemáticaEntrada por teclado ou LaTeXTarefa 1 de 7 · Ctrl ⏎ para verificar

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Acompanhar uma taxa de variação

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

Crescimento à taxa 1, de duas formasResolvamos

y'=y

y(0)=1

até

t=1

com

h=0{,}5

. Euler:

y_1=1+0{,}5\cdot1=1{,}5

y_2=1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25

, contra

e=2{,}7183

, um erro de 0,4683. RK4 para um passo até

t=0{,}5

k_1=1

k_2=1{,}25

k_3=1{,}3125

k_4=1{,}65625

, então

y=1+\frac{0{,}5}{6}(1+2{,}5+2{,}625+1{,}65625)=1{,}6484

, contra o verdadeiro

e^{0{,}5}=1{,}6487

Euler: $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ , precisão de primeira ordem.
RK4: quatro inclinações por passo combinadas com pesos 1, 2, 2, 1; precisão de quarta ordem.
Erro de truncamento: o que se perde ao avançar por passos em vez de resolver exatamente.

Lab: o que é avaliado

Dois passos de Euler15 pts
O erro de Euler15 pts
Um passo de RK420 pts
Ordens de precisão10 pts
Reduzindo o passo à metade15 pts
O laço de Euler10 pts
Por que o RK4 supera o Euler15 pts

0/ 7 respondidas

1Resposta numérica15 ptsSem resposta

Considere $y'=y$ com $y(0)=1$ e passo $h=0{,}5$ . Dê dois passos de Euler e informe $y_2$ (a estimativa de $y(1)$ ).

y_2 =

aceito: ± 0.001

2Resposta numérica15 ptsSem resposta

Considere $y'=y$ com $y(0)=1$ e passo $h=0{,}5$ . A solução exata é $y(1)=e=2{,}7183$ . Quanto a estimativa de Euler $y_2=2{,}25$ se afasta?

\text{error} =

aceito: ± 0.001

3Resposta numérica20 ptsSem resposta

y_1 =

aceito: ± 0.0002

4Escolha10 ptsSem resposta

Quais são as ordens de precisão do método de Euler e do RK4?

5Resposta numérica15 ptsSem resposta

O método de Euler tem erro 0,08 com passo $h=0{,}1$ . Que erro você espera aproximadamente com $h=0{,}05$ ?

\text{error} =

aceito: ± 0.005

6Ordenar os passos10 ptsSem resposta

Coloque em ordem os passos de uma iteração de Euler.

Arraste para reordenar, ou foque um item, Espaço para levantá-lo, setas para movê-lo e Espaço para soltá-lo.

1Atualizar $y\leftarrow y+h\cdot\text{inclinação}$
2Partir dos valores iniciais $t_0$ e $y_0$
3Avançar o tempo $t\leftarrow t+h$ e repetir
4Calcular a inclinação $f(t,y)$ no ponto atual

7Explicar com palavras15 ptsSem resposta

Em duas ou três frases, explique por que o RK4 costuma ser mais preciso que o Euler com o mesmo passo e o que isso custa.

Avaliado por:Avalia a inclinação várias vezes por passoSeu erro diminui muito mais rápido quando o passo diminuiCusta mais trabalho por passo0 / 400 caracteres

Modo matemáticaEntrada por teclado ou LaTeXTarefa 1 de 7 · Ctrl ⏎ para verificar

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