Ecuaciones diferenciales: Euler y RK4

Posición en la rutaMódulo 3 de 4 · Tema 2 de 2

3.2 Ecuaciones diferenciales: Euler y RK4

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

Seguir una tasa de cambio

Una ecuación diferencial dice con qué rapidez cambia una cantidad: $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$ . El dinero que crece a una tasa continua $r$ cumple $\frac{dy}{dt}=ry$ , con solución $y_0e^{rt}$ . Una tasa corta atraída hacia un nivel de largo plazo $\theta$ cumple $\frac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ . Pocas ecuaciones tienen una solución en fórmula, así que avanzamos en el tiempo numéricamente.

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

El método de Euler sigue la tangente durante un paso corto $h$ : valor nuevo = valor anterior + paso × pendiente. Es simple pero solo de primer orden: reducir $h$ a la mitad reduce el error a la mitad. Runge–Kutta de orden 4 (RK4) muestrea la pendiente cuatro veces por paso y las combina, $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ , y su error disminuye como $h^4$ : reducir $h$ a la mitad lo divide por 16.

Crecimiento a tasa 1, de dos manerasResolvamos

y'=y

y(0)=1

hasta

t=1

con

h=0{,}5

. Euler:

y_1=1+0{,}5\cdot1=1{,}5

y_2=1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25

, frente a

e=2{,}7183

, un error de 0,4683. RK4 para un paso hasta

t=0{,}5

k_1=1

k_2=1{,}25

k_3=1{,}3125

k_4=1{,}65625

, así que

y=1+\frac{0{,}5}{6}(1+2{,}5+2{,}625+1{,}65625)=1{,}6484

, frente al verdadero

e^{0{,}5}=1{,}6487

Euler: $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ , precisión de primer orden.
RK4: cuatro pendientes por paso combinadas con pesos 1, 2, 2, 1; precisión de cuarto orden.
Error de truncamiento: lo que se pierde al avanzar por pasos en lugar de resolver exactamente.

Un paso menor no es gratisReducir el paso a la mitad duplica el número de pasos. Más allá de cierto punto, el error de redondeo crece mientras el de truncamiento ya no importa, y algunas ecuaciones rígidas divergen si el paso no es lo bastante pequeño. Compare dos tamaños de paso para estimar el error antes de fiarse de un resultado.

Lab: qué se califica

Dos pasos de Euler15 pts
El error de Euler15 pts
Un paso de RK420 pts
Órdenes de precisión10 pts
Reducir el paso a la mitad15 pts
El bucle de Euler10 pts
Por qué RK4 supera a Euler15 pts

0/ 7 respondidos

1Respuesta numérica15 ptsSin responder

Considere $y'=y$ con $y(0)=1$ y paso $h=0{,}5$ . Dé dos pasos de Euler y escriba $y_2$ (la estimación de $y(1)$ ).

y_2 =

aceptado: ± 0.001

2Respuesta numérica15 ptsSin responder

Considere $y'=y$ con $y(0)=1$ y paso $h=0{,}5$ . La solución exacta es $y(1)=e=2{,}7183$ . ¿Cuánto se aparta la estimación de Euler $y_2=2{,}25$ ?

\text{error} =

aceptado: ± 0.001

3Respuesta numérica20 ptsSin responder

Considere $y'=y$ con $y(0)=1$ y paso $h=0{,}5$ . Dé un paso de RK4 desde $t=0$ y escriba $y_1$ , la estimación de $y(0{,}5)$ , con 4 decimales. Para $f(t,y)=y$ : $k_1=y_n$ , $k_2=y_n+\frac{h}{2}k_1$ , $k_3=y_n+\frac{h}{2}k_2$ , $k_4=y_n+hk_3$ .

y_1 =

aceptado: ± 0.0002

4Elección10 ptsSin responder

¿Cuáles son los órdenes de precisión del método de Euler y de RK4?

5Respuesta numérica15 ptsSin responder

El método de Euler tiene un error de 0,08 con paso $h=0{,}1$ . ¿Qué error espera aproximadamente con $h=0{,}05$ ?

\text{error} =

aceptado: ± 0.005

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ordene los pasos de una iteración de Euler.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Actualizar $y\leftarrow y+h\cdot\text{pendiente}$
2Partir de los valores iniciales $t_0$ y $y_0$
3Avanzar el tiempo $t\leftarrow t+h$ y repetir
4Calcular la pendiente $f(t,y)$ en el punto actual

7Explicar con palabras15 ptsSin responder

En dos o tres frases, explique por qué RK4 suele ser más preciso que Euler con el mismo paso y qué cuesta.

Se califica por:Evalúa la pendiente varias veces por pasoSu error disminuye mucho más rápido al reducir el pasoCuesta más trabajo por paso0 / 400 caracteres

Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 7 · Ctrl ⏎ para comprobar

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y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

Crecimiento a tasa 1, de dos manerasResolvamos

y'=y

y(0)=1

hasta

t=1

con

h=0{,}5

. Euler:

y_1=1+0{,}5\cdot1=1{,}5

y_2=1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25

, frente a

e=2{,}7183

, un error de 0,4683. RK4 para un paso hasta

t=0{,}5

k_1=1

k_2=1{,}25

k_3=1{,}3125

k_4=1{,}65625

, así que

y=1+\frac{0{,}5}{6}(1+2{,}5+2{,}625+1{,}65625)=1{,}6484

, frente al verdadero

e^{0{,}5}=1{,}6487

Euler: $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ , precisión de primer orden.
RK4: cuatro pendientes por paso combinadas con pesos 1, 2, 2, 1; precisión de cuarto orden.
Error de truncamiento: lo que se pierde al avanzar por pasos en lugar de resolver exactamente.

Lab: qué se califica

Dos pasos de Euler15 pts
El error de Euler15 pts
Un paso de RK420 pts
Órdenes de precisión10 pts
Reducir el paso a la mitad15 pts
El bucle de Euler10 pts
Por qué RK4 supera a Euler15 pts

0/ 7 respondidos

1Respuesta numérica15 ptsSin responder

Considere $y'=y$ con $y(0)=1$ y paso $h=0{,}5$ . Dé dos pasos de Euler y escriba $y_2$ (la estimación de $y(1)$ ).

y_2 =

aceptado: ± 0.001

2Respuesta numérica15 ptsSin responder

Considere $y'=y$ con $y(0)=1$ y paso $h=0{,}5$ . La solución exacta es $y(1)=e=2{,}7183$ . ¿Cuánto se aparta la estimación de Euler $y_2=2{,}25$ ?

\text{error} =

aceptado: ± 0.001

3Respuesta numérica20 ptsSin responder

y_1 =

aceptado: ± 0.0002

4Elección10 ptsSin responder

¿Cuáles son los órdenes de precisión del método de Euler y de RK4?

5Respuesta numérica15 ptsSin responder

El método de Euler tiene un error de 0,08 con paso $h=0{,}1$ . ¿Qué error espera aproximadamente con $h=0{,}05$ ?

\text{error} =

aceptado: ± 0.005

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ordene los pasos de una iteración de Euler.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Actualizar $y\leftarrow y+h\cdot\text{pendiente}$
2Partir de los valores iniciales $t_0$ y $y_0$
3Avanzar el tiempo $t\leftarrow t+h$ y repetir
4Calcular la pendiente $f(t,y)$ en el punto actual

7Explicar con palabras15 ptsSin responder

En dos o tres frases, explique por qué RK4 suele ser más preciso que Euler con el mismo paso y qué cuesta.

Se califica por:Evalúa la pendiente varias veces por pasoSu error disminuye mucho más rápido al reducir el pasoCuesta más trabajo por paso0 / 400 caracteres

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