El jacobiano y el hessiano

Muchas salidas, muchas entradas

Una función $F$ puede asignar varias entradas a varias salidas, por ejemplo factores de riesgo a los valores de varias posiciones. Su jacobiano $J$ es la matriz de todas las derivadas parciales de primer orden, con entrada $J_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$. Es la mejor aproximación lineal: para un movimiento pequeño $\Delta$, $F(\mathbf{x}+\Delta)\approx F(\mathbf{x})+J\Delta$.

Para una sola salida $f$, las segundas derivadas forman el hessiano $H$, con entrada $H_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$. Para funciones suaves es simétrico. Describe la curvatura: $f(\mathbf{x}+\Delta)\approx f+\nabla f\cdot\Delta+\tfrac{1}{2}\Delta^{T}H\Delta$. Donde $\nabla f=0$, un $H$ definido positivo indica un mínimo local, uno definido negativo un máximo local y uno mixto un punto de silla. El método de Newton para optimizar usa $H$ para dar mejores pasos que el simple descenso de gradiente.

• Jacobiano: la matriz de las parciales de primer orden de una función vectorial; su mejor modelo lineal.
• Hessiano: la matriz simétrica de las parciales de segundo orden de una función escalar; su curvatura.
• Hessiano definido positivo en un punto crítico: un mínimo local.

Lab: qué se califica

• El jacobiano en un punto20 pts
• El hessiano en un punto20 pts
• El determinante del jacobiano15 pts
• Leer un hessiano15 pts
• La aproximación lineal15 pts
• Qué describe cada matriz15 pts