Jacobi- und Hesse-Matrix

Viele Ausgaben, viele Eingaben

Eine Funktion $F$ kann mehrere Eingaben auf mehrere Ausgaben abbilden, etwa Risikofaktoren auf die Werte mehrerer Positionen. Ihre Jacobi-Matrix $J$ enthält alle partiellen Ableitungen erster Ordnung, mit Eintrag $J_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$. Sie ist die beste lineare Näherung: Für eine kleine Bewegung $\Delta$ gilt $F(\mathbf{x}+\Delta)\approx F(\mathbf{x})+J\Delta$.

Für eine einzelne Ausgabe $f$ bilden die zweiten Ableitungen die Hesse-Matrix $H$ mit Eintrag $H_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$. Bei glatten Funktionen ist sie symmetrisch. Sie beschreibt die Krümmung: $f(\mathbf{x}+\Delta)\approx f+\nabla f\cdot\Delta+\tfrac{1}{2}\Delta^{T}H\Delta$. Wo $\nabla f=0$ gilt, zeigt eine positiv definite $H$ ein lokales Minimum, eine negativ definite ein lokales Maximum und eine gemischte einen Sattelpunkt an. Das Newton-Verfahren der Optimierung nutzt $H$, um bessere Schritte als das einfache Gradientenverfahren zu machen.

• Jacobi-Matrix: die Matrix der partiellen Ableitungen erster Ordnung einer vektorwertigen Funktion; ihr bestes lineares Modell.
• Hesse-Matrix: die symmetrische Matrix der zweiten partiellen Ableitungen einer skalaren Funktion; ihre Krümmung.
• Positiv definite Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt: ein lokales Minimum.

Lab: Was bewertet wird

• Die Jacobi-Matrix an einer Stelle20 Pkt.
• Die Hesse-Matrix an einer Stelle20 Pkt.
• Die Determinante der Jacobi-Matrix15 Pkt.
• Eine Hesse-Matrix lesen15 Pkt.
• Die lineare Näherung15 Pkt.
• Was jede Matrix beschreibt15 Pkt.