Lagrange-Multiplikatoren

Optimieren unter Nebenbedingung

Ohne Nebenbedingungen liegt das Maximum oder Minimum einer glatten Funktion dort, wo der Gradient null ist, $\nabla f=0$. Reale Probleme haben Nebenbedingungen: ein festes Budget, Portfoliogewichte, die sich zu 1 summieren, ein Risikolimit. Gesucht ist dann der beste Punkt auf einer Kurve oder Fläche $g(x,y)=c$, nicht irgendwo in der Ebene.

Im Optimum unter Nebenbedingung berührt die Niveaulinie von $f$ die Nebenbedingung nur, daher sind die beiden Gradienten parallel: $\nabla f=\lambda\nabla g$. Man fasst das in der Lagrange-Funktion $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(g(x,y)-c)$ zusammen und setzt alle partiellen Ableitungen null: Die Gleichungen in $x$ und $y$ liefern die parallelen Gradienten, die in $\lambda$ ergibt die Nebenbedingung zurück.

Der Multiplikator $\lambda$ hat eine Bedeutung: Er ist der Schattenpreis der Nebenbedingung, die Rate, mit der sich der optimale Wert ändert, wenn die Nebenbedingung um eine Einheit gelockert wird, $\frac{dV^*}{dc}=\lambda$. In einem Minimum-Varianz-Portfolio mit Gewichtssumme 1 sagt er, wie viel Varianz etwas mehr Budget kaufen würde.

Lab: Was bewertet wird

• Die Lagrange-Funktion15 Pkt.
• Das optimale x20 Pkt.
• Der Maximalwert15 Pkt.
• Der Multiplikator15 Pkt.
• Die Geometrie10 Pkt.
• Eine Minimierung15 Pkt.
• Was der Multiplikator bedeutet10 Pkt.