Multiplicadores de Lagrange

Otimizar com uma restrição

Sem restrições, uma função suave tem seu máximo ou mínimo onde o gradiente é zero, $\nabla f=0$. Os problemas reais vêm com restrições: um orçamento fixo, pesos de carteira que somam 1, um limite de risco. Procura-se então o melhor ponto sobre uma curva ou superfície $g(x,y)=c$, e não em qualquer lugar do plano.

No ótimo com restrição, a curva de nível de $f$ apenas toca a restrição, então os dois gradientes são paralelos: $\nabla f=\lambda\nabla g$. Reúne-se isso no lagrangiano $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(g(x,y)-c)$ e igualam-se a zero todas as suas derivadas parciais: as equações em $x$ e $y$ dão os gradientes paralelos e a de $\lambda$ devolve a restrição.

O multiplicador $\lambda$ tem um significado: é o preço-sombra da restrição, a taxa em que o valor ótimo muda quando a restrição é relaxada em uma unidade, $\frac{dV^*}{dc}=\lambda$. Em uma carteira de variância mínima com pesos somando 1, ele diz quanta variância um pouco mais de orçamento compraria.

Lab: o que é avaliado

• O lagrangiano15 pts
• O x ótimo20 pts
• O valor máximo15 pts
• O multiplicador15 pts
• A geometria10 pts
• Uma minimização15 pts
• O que o multiplicador significa10 pts