مضاريب لاغرانج

التحسين مع قيد

من دون قيود تبلغ الدالة الملساء نهايتها العظمى أو الصغرى حيث يكون التدرج صفرًا، $\nabla f=0$. أما المسائل الحقيقية فلها قيود: ميزانية ثابتة، أو أوزان محفظة يجب أن يكون مجموعها 1، أو حد للمخاطر. وعندئذ تبحث عن أفضل نقطة على منحنى أو سطح $g(x,y)=c$ لا في أي مكان من المستوى.

عند الأمثل المقيّد يلامس منحنى مستوى $f$ القيد فحسب، فيكون التدرجان متوازيين: $\nabla f=\lambda\nabla g$. نجمع ذلك في لاغرانجيان $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(g(x,y)-c)$ ونساوي كل مشتقاته الجزئية بالصفر: معادلتا $x$ و$y$ تعطيان التدرجين المتوازيين، ومعادلة $\lambda$ تعيد القيد.

للمضروب $\lambda$ معنى: إنه السعر الظلي للقيد، أي معدل تغيّر القيمة المثلى عند تخفيف القيد بوحدة واحدة، $\frac{dV^*}{dc}=\lambda$. وفي محفظة أدنى تباين مجموع أوزانها 1 يخبرك بمقدار التباين الذي كانت ستشتريه ميزانية أكبر قليلًا.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• اللاغرانجيان15 نقطة
• قيمة x المثلى20 نقطة
• القيمة العظمى15 نقطة
• المضروب15 نقطة
• الهندسة10 نقطة
• تصغير دالة15 نقطة
• معنى المضروب10 نقطة