ラグランジュの未定乗数法

制約付きの最適化

制約がなければ、滑らかな関数の最大・最小は勾配がゼロの点 $\nabla f=0$ にあります。現実の問題には制約があります。固定された予算、合計が1になるポートフォリオの重み、リスクの上限などです。その場合は平面のどこでもなく、曲線や曲面 $g(x,y)=c$ 上の最良の点を探します。

制約付きの最適点では、$f$ の等高線が制約にちょうど接するため、2つの勾配は平行です：$\nabla f=\lambda\nabla g$。これをラグランジュ関数 $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(g(x,y)-c)$ にまとめ、すべての偏微分を0とおきます。$x$ と $y$ の式が平行な勾配を、$\lambda$ の式が制約を与えます。

乗数 $\lambda$ には意味があります。制約の影の価格、つまり制約を1単位緩めたときに最適値が変わる割合 $\frac{dV^*}{dc}=\lambda$ です。重みの合計が1の最小分散ポートフォリオなら、予算が少し増えたときに分散がどれだけ変わるかを示します。

ラボ：採点される内容

• ラグランジュ関数15点
• 最適な x20点
• 最大値15点
• 乗数15点
• 幾何学的な意味10点
• 最小化の問題15点
• 乗数の意味10点