拉格朗日乘数法

路线进度模块 4/4 · 主题 2/3

4.2 拉格朗日乘数法

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

带约束的优化

没有约束时，光滑函数的最大或最小值出现在梯度为零的地方， $\nabla f=0$ 。现实问题带有约束：固定预算、权重之和必须为 1 的投资组合、风险上限。这时要找的是曲线或曲面 $g(x,y)=c$ 上的最佳点，而不是平面上任意位置。

\nabla f=\lambda\,\nabla g,\qquad g(x,y)=c

(1)

在约束最优点处， $f$ 的等值线恰好与约束相切，所以两个梯度平行： $\nabla f=\lambda\nabla g$ 。把它写成拉格朗日函数 $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(g(x,y)-c)$ ，令其所有偏导数为零：关于 $x$ 、 $y$ 的方程给出梯度平行，关于 $\lambda$ 的方程还原约束。

乘数 $\lambda$ 有明确含义：它是约束的影子价格，即约束放宽一个单位时最优值的变化率， $\frac{dV^*}{dc}=\lambda$ 。在权重之和为 1 的最小方差组合中，它告诉你多一点预算能换来多少方差变化。

一个预算问题在

x+y=10

的约束下最大化

f=xy

。这里

\nabla f=(y,x)

，

\nabla g=(1,1)

，所以

y=\lambda

，

x=\lambda

，于是

x=y=5

，

\lambda=5

，最大值为 25。若预算增加到 11，最大值变为

5.5\times5.5=30.25

：增加 5.25，接近

\lambda\times1=5

。

是候选点，不是保证令拉格朗日函数的导数为零只能找出候选点。你还要判断每个点是最大、最小还是都不是；以不等式给出的约束（

x\ge0

）则需要把这一思想推广的 KKT 条件。

实验：评分内容

拉格朗日函数15 分
最优的 x20 分
最大值15 分
乘数15 分
几何意义10 分
一个最小化问题15 分
乘数的含义10 分

0/ 已答 7 题

1填空15 分未作答

在 $x+y=10$ 的约束下最大化 $f(x,y)=xy$ 。补全这个问题的拉格朗日函数。

\displaystyle \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\,(x+y-\htmlData{blank=c}{\phantom{\rule[-0.35em]{2.4em}{1.35em}}})

2数值作答20 分未作答

在 $x+y=10$ 的约束下最大化 $f(x,y)=xy$ 。用 $\nabla f=\lambda\nabla g$ 求最优的 $x$ 。

x^* =

允许误差:± 0.001

3数值作答15 分未作答

在 $x+y=10$ 的约束下最大化 $f(x,y)=xy$ 。 $xy$ 的最大值是多少？

f^* =

允许误差:± 0.001

4数值作答15 分未作答

在 $x+y=10$ 的约束下最大化 $f(x,y)=xy$ 。最优点处乘数 $\lambda$ 的值（由 $\nabla f=\lambda\nabla g$ ）是多少？

\lambda =

允许误差:± 0.001

5选择10 分未作答

在约束最优点处， $\nabla f$ 与 $\nabla g$ 是什么关系？

6数值作答15 分未作答

在 $x+y=2$ 的约束下最小化 $x^2+y^2$ 。最小值是多少？（可以想成权重之和为 2、成本为权重平方之和的双资产组合。）

V^* =

允许误差:± 0.001

7用文字解释10 分未作答

请用一两句话说明乘数 $\lambda$ 告诉你关于约束的什么信息。

评分依据:是最优值的变化率当约束放宽一个单位时起到约束影子价格的作用0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

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带约束的优化

\nabla f=\lambda\,\nabla g,\qquad g(x,y)=c

(1)

一个预算问题在

x+y=10

的约束下最大化

f=xy

。这里

\nabla f=(y,x)

，

\nabla g=(1,1)

，所以

y=\lambda

，

x=\lambda

，于是

x=y=5

，

\lambda=5

，最大值为 25。若预算增加到 11，最大值变为

5.5\times5.5=30.25

：增加 5.25，接近

\lambda\times1=5

。

是候选点，不是保证令拉格朗日函数的导数为零只能找出候选点。你还要判断每个点是最大、最小还是都不是；以不等式给出的约束（

x\ge0

）则需要把这一思想推广的 KKT 条件。

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最优的 x20 分
最大值15 分
乘数15 分
几何意义10 分
一个最小化问题15 分
乘数的含义10 分

0/ 已答 7 题

1填空15 分未作答

在 $x+y=10$ 的约束下最大化 $f(x,y)=xy$ 。补全这个问题的拉格朗日函数。

\displaystyle \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\,(x+y-\htmlData{blank=c}{\phantom{\rule[-0.35em]{2.4em}{1.35em}}})

2数值作答20 分未作答

在 $x+y=10$ 的约束下最大化 $f(x,y)=xy$ 。用 $\nabla f=\lambda\nabla g$ 求最优的 $x$ 。

x^* =

允许误差:± 0.001

3数值作答15 分未作答

在 $x+y=10$ 的约束下最大化 $f(x,y)=xy$ 。 $xy$ 的最大值是多少？

f^* =

允许误差:± 0.001

4数值作答15 分未作答

在 $x+y=10$ 的约束下最大化 $f(x,y)=xy$ 。最优点处乘数 $\lambda$ 的值（由 $\nabla f=\lambda\nabla g$ ）是多少？

\lambda =

允许误差:± 0.001

5选择10 分未作答

在约束最优点处， $\nabla f$ 与 $\nabla g$ 是什么关系？

6数值作答15 分未作答

在 $x+y=2$ 的约束下最小化 $x^2+y^2$ 。最小值是多少？（可以想成权重之和为 2、成本为权重平方之和的双资产组合。）

V^* =

允许误差:± 0.001

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请用一两句话说明乘数 $\lambda$ 告诉你关于约束的什么信息。

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