Multiplicateurs de Lagrange

Position dans le parcoursModule 4 sur 4 · Sujet 2 sur 3

4.2 Multiplicateurs de Lagrange

—Score du lab— / 100XP total—Série—

Optimiser sous contrainte

Sans contrainte, une fonction lisse atteint son maximum ou minimum là où le gradient est nul, $\nabla f=0$ . Les vrais problèmes comportent des contraintes : un budget fixe, des poids de portefeuille de somme 1, une limite de risque. On cherche alors le meilleur point sur une courbe ou surface $g(x,y)=c$ , et non n'importe où dans le plan.

\nabla f=\lambda\,\nabla g,\qquad g(x,y)=c

(1)

À l'optimum sous contrainte, la courbe de niveau de $f$ touche juste la contrainte, donc les deux gradients sont parallèles : $\nabla f=\lambda\nabla g$ . On regroupe cela dans le lagrangien $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(g(x,y)-c)$ et on annule toutes ses dérivées partielles : les équations en $x$ et $y$ donnent les gradients parallèles et celle en $\lambda$ redonne la contrainte.

Le multiplicateur $\lambda$ a un sens : c'est le prix fictif de la contrainte, le taux auquel la valeur optimale varie quand on assouplit la contrainte d'une unité, $\frac{dV^*}{dc}=\lambda$ . Dans un portefeuille de variance minimale dont les poids somment à 1, il dit de combien de variance un peu plus de budget achèterait.

Un problème de budgetMaximisons

f=xy

sous la contrainte

x+y=10

. Ici

\nabla f=(y,x)

\nabla g=(1,1)

, donc

y=\lambda

x=\lambda

, d'où

x=y=5

\lambda=5

et le maximum est 25. Si le budget passe à 11, le maximum devient

5{,}5\times5{,}5=30{,}25

: un gain de 5,25, proche de

\lambda\times1=5

Des candidats, pas des garantiesAnnuler les dérivées du lagrangien trouve des points candidats. Il faut encore décider si chacun est un maximum, un minimum ou ni l'un ni l'autre, et les contraintes écrites en inégalités (

x\ge0

) demandent les conditions KKT, qui prolongent cette idée.

Lab : ce qui est noté

Le lagrangien15 pts
Le x optimal20 pts
La valeur maximale15 pts
Le multiplicateur15 pts
La géométrie10 pts
Une minimisation15 pts
Ce que signifie le multiplicateur10 pts

0/ 7 traités

1Compléter les blancs15 ptsSans réponse

Maximisez $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $x+y=10$ . Complétez le lagrangien de ce problème.

\displaystyle \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\,(x+y-\htmlData{blank=c}{\phantom{\rule[-0.35em]{2.4em}{1.35em}}})

2Réponse numérique20 ptsSans réponse

Maximisez $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $x+y=10$ . Utilisez $\nabla f=\lambda\nabla g$ pour trouver le $x$ optimal.

x^* =

accepté : ± 0.001

3Réponse numérique15 ptsSans réponse

Maximisez $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $x+y=10$ . Quelle est la valeur maximale de $xy$ ?

f^* =

accepté : ± 0.001

4Réponse numérique15 ptsSans réponse

Maximisez $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $x+y=10$ . Quelle est la valeur du multiplicateur $\lambda$ à l'optimum (d'après $\nabla f=\lambda\nabla g$ ) ?

\lambda =

accepté : ± 0.001

5Choix10 ptsSans réponse

À un optimum sous contrainte, quel est le lien entre $\nabla f$ et $\nabla g$ ?

6Réponse numérique15 ptsSans réponse

Minimisez $x^2+y^2$ sous la contrainte $x+y=2$ . Quelle est la valeur minimale ? (Pensez à un portefeuille de deux actifs dont les poids somment à 2 et dont le coût est la somme des carrés des poids.)

V^* =

accepté : ± 0.001

7Expliquer avec des mots10 ptsSans réponse

En une ou deux phrases, dites ce que le multiplicateur $\lambda$ vous apprend sur la contrainte.

Noté sur :C'est le taux de variation de la valeur optimaleQuand la contrainte est assouplie d'une unitéIl joue le rôle de prix fictif de la contrainte0 / 400 caractères

Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 7 · Ctrl ⏎ pour vérifier

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\nabla f=\lambda\,\nabla g,\qquad g(x,y)=c

(1)

Un problème de budgetMaximisons

f=xy

sous la contrainte

x+y=10

. Ici

\nabla f=(y,x)

\nabla g=(1,1)

, donc

y=\lambda

x=\lambda

, d'où

x=y=5

\lambda=5

et le maximum est 25. Si le budget passe à 11, le maximum devient

5{,}5\times5{,}5=30{,}25

: un gain de 5,25, proche de

\lambda\times1=5

x\ge0

) demandent les conditions KKT, qui prolongent cette idée.

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Le multiplicateur15 pts
La géométrie10 pts
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Maximisez $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $x+y=10$ . Complétez le lagrangien de ce problème.

\displaystyle \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\,(x+y-\htmlData{blank=c}{\phantom{\rule[-0.35em]{2.4em}{1.35em}}})

2Réponse numérique20 ptsSans réponse

Maximisez $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $x+y=10$ . Utilisez $\nabla f=\lambda\nabla g$ pour trouver le $x$ optimal.

x^* =

accepté : ± 0.001

3Réponse numérique15 ptsSans réponse

Maximisez $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $x+y=10$ . Quelle est la valeur maximale de $xy$ ?

f^* =

accepté : ± 0.001

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Maximisez $f(x,y)=xy$ sous la contrainte $x+y=10$ . Quelle est la valeur du multiplicateur $\lambda$ à l'optimum (d'après $\nabla f=\lambda\nabla g$ ) ?

\lambda =

accepté : ± 0.001

5Choix10 ptsSans réponse

À un optimum sous contrainte, quel est le lien entre $\nabla f$ et $\nabla g$ ?

6Réponse numérique15 ptsSans réponse

V^* =

accepté : ± 0.001

7Expliquer avec des mots10 ptsSans réponse

En une ou deux phrases, dites ce que le multiplicateur $\lambda$ vous apprend sur la contrainte.

Noté sur :C'est le taux de variation de la valeur optimaleQuand la contrainte est assouplie d'une unitéIl joue le rôle de prix fictif de la contrainte0 / 400 caractères

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