La jacobienne et la hessienne

Plusieurs sorties, plusieurs entrées

Une fonction $F$ peut associer plusieurs entrées à plusieurs sorties, par exemple des facteurs de risque aux valeurs de plusieurs positions. Sa jacobienne $J$ est la matrice de toutes les dérivées partielles du premier ordre, d'entrée $J_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$. C'est la meilleure approximation linéaire : pour un petit déplacement $\Delta$, $F(\mathbf{x}+\Delta)\approx F(\mathbf{x})+J\Delta$.

Pour une seule sortie $f$, les dérivées secondes forment la hessienne $H$, d'entrée $H_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$. Pour des fonctions lisses, elle est symétrique. Elle décrit la courbure : $f(\mathbf{x}+\Delta)\approx f+\nabla f\cdot\Delta+\tfrac{1}{2}\Delta^{T}H\Delta$. Là où $\nabla f=0$, une $H$ définie positive indique un minimum local, une $H$ définie négative un maximum local, et une $H$ mixte un point selle. La méthode de Newton pour l'optimisation utilise $H$ pour faire de meilleurs pas que la simple descente de gradient.

• Jacobienne : la matrice des dérivées partielles premières d'une fonction vectorielle ; son meilleur modèle linéaire.
• Hessienne : la matrice symétrique des dérivées partielles secondes d'une fonction scalaire ; sa courbure.
• Hessienne définie positive en un point critique : un minimum local.

Lab : ce qui est noté

• La jacobienne en un point20 pts
• La hessienne en un point20 pts
• Le déterminant de la jacobienne15 pts
• Lire une hessienne15 pts
• L'approximation linéaire15 pts
• Ce que décrit chaque matrice15 pts