Équations différentielles : Euler et RK4

Position dans le parcoursModule 3 sur 4 · Sujet 2 sur 2

3.2 Équations différentielles : Euler et RK4

—Score du lab— / 100XP total—Série—

Suivre un taux de variation

Une équation différentielle dit à quelle vitesse une grandeur varie : $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$ . Un capital qui croît à un taux continu $r$ obéit à $\frac{dy}{dt}=ry$ , de solution $y_0e^{rt}$ . Un taux court rappelé vers un niveau de long terme $\theta$ obéit à $\frac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ . Peu d'équations ont une solution en formule : on avance donc dans le temps numériquement.

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

La méthode d'Euler suit la tangente sur un court pas $h$ : nouvelle valeur = ancienne valeur + pas × pente. Elle est simple mais seulement d'ordre 1 : diviser $h$ par deux divise l'erreur par deux. Runge–Kutta d'ordre 4 (RK4) évalue la pente quatre fois par pas et les combine, $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ , et son erreur varie en $h^4$ : diviser $h$ par deux la divise par 16.

Croissance au taux 1, de deux façonsRésolvons

y'=y

y(0)=1

jusqu'à

t=1

avec

h=0{,}5

. Euler :

y_1=1+0{,}5\cdot1=1{,}5

y_2=1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25

, contre

e=2{,}7183

, soit une erreur de 0,4683. RK4 pour un pas jusqu'à

t=0{,}5

k_1=1

k_2=1{,}25

k_3=1{,}3125

k_4=1{,}65625

, donc

y=1+\frac{0{,}5}{6}(1+2{,}5+2{,}625+1{,}65625)=1{,}6484

, contre le vrai

e^{0{,}5}=1{,}6487

Euler : $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ , précision d'ordre 1.
RK4 : quatre pentes par pas combinées avec les poids 1, 2, 2, 1 ; précision d'ordre 4.
Erreur de troncature : ce que l'on perd en avançant par pas au lieu de résoudre exactement.

Un pas plus petit n'est pas gratuitDiviser le pas par deux double le nombre de pas. Au-delà d'un certain point, l'erreur d'arrondi grandit alors que l'erreur de troncature ne compte plus, et certaines équations raides divergent si le pas n'est pas assez petit. Comparez deux tailles de pas pour estimer l'erreur avant de vous fier à un résultat.

Lab : ce qui est noté

Deux pas d'Euler15 pts
L'erreur d'Euler15 pts
Un pas de RK420 pts
Ordres de précision10 pts
Diviser le pas par deux15 pts
La boucle d'Euler10 pts
Pourquoi RK4 l'emporte sur Euler15 pts

0/ 7 traités

1Réponse numérique15 ptsSans réponse

Considérons $y'=y$ avec $y(0)=1$ et le pas $h=0{,}5$ . Faites deux pas d'Euler et donnez $y_2$ (l'estimation de $y(1)$ ).

y_2 =

accepté : ± 0.001

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

Considérons $y'=y$ avec $y(0)=1$ et le pas $h=0{,}5$ . La solution exacte est $y(1)=e=2{,}7183$ . De combien l'estimation d'Euler $y_2=2{,}25$ s'en écarte-t-elle ?

\text{error} =

accepté : ± 0.001

3Réponse numérique20 ptsSans réponse

Considérons $y'=y$ avec $y(0)=1$ et le pas $h=0{,}5$ . Faites un pas de RK4 depuis $t=0$ et donnez $y_1$ , l'estimation de $y(0{,}5)$ , à 4 décimales. Pour $f(t,y)=y$ : $k_1=y_n$ , $k_2=y_n+\frac{h}{2}k_1$ , $k_3=y_n+\frac{h}{2}k_2$ , $k_4=y_n+hk_3$ .

y_1 =

accepté : ± 0.0002

4Choix10 ptsSans réponse

Quels sont les ordres de précision de la méthode d'Euler et de RK4 ?

5Réponse numérique15 ptsSans réponse

La méthode d'Euler a une erreur de 0,08 avec le pas $h=0{,}1$ . Quelle erreur attendre à peu près avec $h=0{,}05$ ?

\text{error} =

accepté : ± 0.005

6Remettre les étapes dans l'ordre10 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes d'une itération d'Euler.

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Mettre à jour $y\leftarrow y+h\cdot\text{pente}$
2Partir des valeurs initiales $t_0$ et $y_0$
3Avancer le temps $t\leftarrow t+h$ et recommencer
4Calculer la pente $f(t,y)$ au point courant

7Expliquer avec des mots15 ptsSans réponse

En deux ou trois phrases, expliquez pourquoi RK4 est généralement plus précis qu'Euler pour un même pas et ce que cela coûte.

Noté sur :Il évalue la pente plusieurs fois par pasSon erreur diminue bien plus vite quand le pas diminueIl demande plus de calcul par pas0 / 400 caractères

Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 7 · Ctrl ⏎ pour vérifier

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Suivre un taux de variation

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

Croissance au taux 1, de deux façonsRésolvons

y'=y

y(0)=1

jusqu'à

t=1

avec

h=0{,}5

. Euler :

y_1=1+0{,}5\cdot1=1{,}5

y_2=1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25

, contre

e=2{,}7183

, soit une erreur de 0,4683. RK4 pour un pas jusqu'à

t=0{,}5

k_1=1

k_2=1{,}25

k_3=1{,}3125

k_4=1{,}65625

, donc

y=1+\frac{0{,}5}{6}(1+2{,}5+2{,}625+1{,}65625)=1{,}6484

, contre le vrai

e^{0{,}5}=1{,}6487

Euler : $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ , précision d'ordre 1.
RK4 : quatre pentes par pas combinées avec les poids 1, 2, 2, 1 ; précision d'ordre 4.
Erreur de troncature : ce que l'on perd en avançant par pas au lieu de résoudre exactement.

Lab : ce qui est noté

Deux pas d'Euler15 pts
L'erreur d'Euler15 pts
Un pas de RK420 pts
Ordres de précision10 pts
Diviser le pas par deux15 pts
La boucle d'Euler10 pts
Pourquoi RK4 l'emporte sur Euler15 pts

0/ 7 traités

1Réponse numérique15 ptsSans réponse

Considérons $y'=y$ avec $y(0)=1$ et le pas $h=0{,}5$ . Faites deux pas d'Euler et donnez $y_2$ (l'estimation de $y(1)$ ).

y_2 =

accepté : ± 0.001

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

Considérons $y'=y$ avec $y(0)=1$ et le pas $h=0{,}5$ . La solution exacte est $y(1)=e=2{,}7183$ . De combien l'estimation d'Euler $y_2=2{,}25$ s'en écarte-t-elle ?

\text{error} =

accepté : ± 0.001

3Réponse numérique20 ptsSans réponse

y_1 =

accepté : ± 0.0002

4Choix10 ptsSans réponse

Quels sont les ordres de précision de la méthode d'Euler et de RK4 ?

5Réponse numérique15 ptsSans réponse

La méthode d'Euler a une erreur de 0,08 avec le pas $h=0{,}1$ . Quelle erreur attendre à peu près avec $h=0{,}05$ ?

\text{error} =

accepté : ± 0.005

6Remettre les étapes dans l'ordre10 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes d'une itération d'Euler.

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Mettre à jour $y\leftarrow y+h\cdot\text{pente}$
2Partir des valeurs initiales $t_0$ et $y_0$
3Avancer le temps $t\leftarrow t+h$ et recommencer
4Calculer la pente $f(t,y)$ au point courant

7Expliquer avec des mots15 ptsSans réponse

En deux ou trois phrases, expliquez pourquoi RK4 est généralement plus précis qu'Euler pour un même pas et ce que cela coûte.

Noté sur :Il évalue la pente plusieurs fois par pasSon erreur diminue bien plus vite quand le pas diminueIl demande plus de calcul par pas0 / 400 caractères

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