Séries de Taylor

Remplacer une fonction par un polynôme

Près d'un point, une fonction lisse ressemble à un polynôme construit à partir de ses dérivées en ce point. C'est la série de Taylor : en partant de $x$ et en faisant un petit pas $h$, la fonction varie de sa pente fois $h$, plus une correction due à sa courbure, plus des corrections plus petites dues aux dérivées d'ordre supérieur.

Quatre séries valent la peine d'être connues près de 0 : $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ et $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$. Tronquer après quelques termes donne une approximation bon marché dont l'erreur est d'environ le premier terme manquant.

La finance l'utilise tous les jours. Le prix $P$ d'une obligation dépend du rendement $y$ ; au second ordre $\Delta P\approx -D\,P\,\Delta y+\tfrac{1}{2}C\,P\,(\Delta y)^2$, où $D$ est la duration modifiée (le terme de pente) et $C$ la convexité (le terme de courbure). La même forme apparaît avec le delta et le gamma d'une option : $\Delta V\approx \Delta\cdot\Delta S+\tfrac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2$.

Lab : ce qui est noté

• La série de l'exponentielle15 pts
• Approcher le sinus15 pts
• La taille de l'erreur15 pts
• La variation du prix d'une obligation20 pts
• Quel terme est la courbure10 pts
• Une série à la main15 pts
• Fonctions et leurs séries10 pts