Séries de Taylor

Substituir uma função por um polinômio

Perto de um ponto, uma função suave parece um polinômio construído com suas derivadas ali. É a série de Taylor: partindo de $x$ e dando um pequeno passo $h$, a função muda sua inclinação vezes $h$, mais uma correção da curvatura, mais correções menores das derivadas de ordem superior.

Vale conhecer quatro séries perto de 0: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ e $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$. Truncar depois de alguns termos dá uma aproximação barata cujo erro é cerca do primeiro termo omitido.

As finanças usam isso diariamente. O preço $P$ de um título depende do rendimento $y$; em segunda ordem $\Delta P\approx -D\,P\,\Delta y+\tfrac{1}{2}C\,P\,(\Delta y)^2$, em que $D$ é a duration modificada (o termo da inclinação) e $C$ a convexidade (o termo da curvatura). A mesma forma aparece como delta e gama de uma opção: $\Delta V\approx \Delta\cdot\Delta S+\tfrac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2$.

Lab: o que é avaliado

• A série da exponencial15 pts
• Aproximando o seno15 pts
• O tamanho do erro15 pts
• A variação do preço de um título20 pts
• Qual termo é a curvatura10 pts
• Uma série à mão15 pts
• Funções e suas séries10 pts