Integrais multivariáveis por Monte Carlo

Posição no roteiroMódulo 2 de 4 · Tópico 3 de 3

2.3 Integrais multivariáveis por Monte Carlo

—Nota do lab— / 100XP total—Sequência—

Integrais por amostragem

Uma integral múltipla soma uma função sobre uma região, $\iint_R f\,dA$ . Poucas podem ser resolvidas à mão, e ainda assim as finanças estão cheias delas: o ganho esperado de um derivativo, a probabilidade de uma perda e o preço de uma opção sobre cesta são integrais em muitas dimensões.

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

O Monte Carlo estima a integral por amostragem. Sorteie $N$ pontos aleatórios $\mathbf{x}_i$ uniformemente em uma região de volume conhecido $V$ que contenha o domínio, tire a média de $f$ sobre eles e multiplique por $V$ . A estimativa é ela mesma aleatória, com erro padrão $\sigma/\sqrt{N}$ : para reduzir o erro à metade são necessários quatro vezes mais pontos.

Sua grande vantagem é a dimensão. Uma grade de 10 pontos por eixo exige $10^d$ pontos em $d$ dimensões, ou seja, $10^{10}$ para $d=10$ . O erro do Monte Carlo continua diminuindo como $1/\sqrt{N}$ , seja qual for $d$ . Para áreas e volumes, reduz-se a acertar ou errar: a fração de pontos aleatórios que caem dentro da figura, vezes o volume da caixa.

Estimativa: $V$ vezes a média de $f$ sobre pontos aleatórios uniformes.
Erro padrão: $\sigma/\sqrt{N}$ ; quatro vezes mais pontos o reduzem à metade.
Acerto ou erro: a área ou o volume é a fração de pontos dentro vezes o volume da caixa.

Um volume por acerto ou erroLance pontos aleatórios no cubo

[-1,1]^3

, de volume 8. Um ponto está dentro da bola unitária se

x^2+y^2+z^2\le 1

. A fração exata dentro é

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}5236

; com 100.000 pontos cerca de 52.360 caem dentro, com erro padrão

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0{,}0016

na fração.

A resposta muda com a sementeDuas execuções com sementes diferentes dão estimativas ligeiramente diferentes, porque a estimativa é aleatória. Informe sempre o erro padrão junto ao valor e fixe a semente quando precisar de um resultado reproduzível, como fazem os laboratórios deste curso.

Lab: o que é avaliado

Uma integral dupla exata15 pts
O erro padrão15 pts
Quantos pontos a mais15 pts
Um volume por acerto ou erro15 pts
Por que Monte Carlo em muitas dimensões10 pts
A receita do Monte Carlo10 pts
Por que a amostragem funciona20 pts

0/ 7 respondidas

1Resposta numérica15 ptsSem resposta

Calcule $\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ . É o valor do qual uma estimativa Monte Carlo deve se aproximar.

I =

aceito: ± 0.001

2Resposta numérica15 ptsSem resposta

Os valores $f(\mathbf{x}_i)$ têm desvio padrão $\sigma=0{,}5$ e você usa $N=10.000$ pontos. Qual é o erro padrão $\sigma/\sqrt{N}$ da média?

SE =

aceito: ± 0.0001

3Resposta numérica15 ptsSem resposta

Por que fator é preciso multiplicar $N$ para reduzir o erro padrão a um quarto?

factor =

aceito: ± 0.001

4Resposta numérica15 ptsSem resposta

Pontos aleatórios preenchem o cubo $[-1,1]^3$ . Que fração deve cair dentro da bola unitária? Dê $\pi/6$ com 4 casas decimais.

p =

aceito: ± 0.001

5Escolha10 ptsSem resposta

Por que se prefere Monte Carlo a uma grade para uma integral em 10 dimensões?

6Ordenar os passos10 ptsSem resposta

Coloque em ordem os passos de uma integral Monte Carlo.

Arraste para reordenar, ou foque um item, Espaço para levantá-lo, setas para movê-lo e Espaço para soltá-lo.

1Avaliar $f$ em cada ponto
2Escolher uma caixa de volume conhecido $V$ que contenha a região
3Tirar a média dos valores e multiplicar por $V$
4Sortear $N$ pontos aleatórios uniformes na caixa

7Explicar com palavras20 ptsSem resposta

Em duas ou três frases, explique como se calcula uma estimativa Monte Carlo, com que rapidez seu erro diminui e por que isso importa em muitas dimensões.

Avaliado por:Média de

f

sobre pontos aleatórios, multiplicada pelo volumeO erro diminui como 1 sobre a raiz de NIsso não depende da dimensão, ao contrário de uma grade0 / 400 caracteres

Modo matemáticaEntrada por teclado ou LaTeXTarefa 1 de 7 · Ctrl ⏎ para verificar

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2.3 Integrais multivariáveis por Monte Carlo

—Nota do lab— / 100XP total—Sequência—

Integrais por amostragem

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

Estimativa: $V$ vezes a média de $f$ sobre pontos aleatórios uniformes.
Erro padrão: $\sigma/\sqrt{N}$ ; quatro vezes mais pontos o reduzem à metade.
Acerto ou erro: a área ou o volume é a fração de pontos dentro vezes o volume da caixa.

Um volume por acerto ou erroLance pontos aleatórios no cubo

[-1,1]^3

, de volume 8. Um ponto está dentro da bola unitária se

x^2+y^2+z^2\le 1

. A fração exata dentro é

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}5236

; com 100.000 pontos cerca de 52.360 caem dentro, com erro padrão

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0{,}0016

na fração.

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Uma integral dupla exata15 pts
O erro padrão15 pts
Quantos pontos a mais15 pts
Um volume por acerto ou erro15 pts
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A receita do Monte Carlo10 pts
Por que a amostragem funciona20 pts

0/ 7 respondidas

1Resposta numérica15 ptsSem resposta

Calcule $\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ . É o valor do qual uma estimativa Monte Carlo deve se aproximar.

I =

aceito: ± 0.001

2Resposta numérica15 ptsSem resposta

Os valores $f(\mathbf{x}_i)$ têm desvio padrão $\sigma=0{,}5$ e você usa $N=10.000$ pontos. Qual é o erro padrão $\sigma/\sqrt{N}$ da média?

SE =

aceito: ± 0.0001

3Resposta numérica15 ptsSem resposta

Por que fator é preciso multiplicar $N$ para reduzir o erro padrão a um quarto?

factor =

aceito: ± 0.001

4Resposta numérica15 ptsSem resposta

Pontos aleatórios preenchem o cubo $[-1,1]^3$ . Que fração deve cair dentro da bola unitária? Dê $\pi/6$ com 4 casas decimais.

p =

aceito: ± 0.001

5Escolha10 ptsSem resposta

Por que se prefere Monte Carlo a uma grade para uma integral em 10 dimensões?

6Ordenar os passos10 ptsSem resposta

Coloque em ordem os passos de uma integral Monte Carlo.

Arraste para reordenar, ou foque um item, Espaço para levantá-lo, setas para movê-lo e Espaço para soltá-lo.

1Avaliar $f$ em cada ponto
2Escolher uma caixa de volume conhecido $V$ que contenha a região
3Tirar a média dos valores e multiplicar por $V$
4Sortear $N$ pontos aleatórios uniformes na caixa

7Explicar com palavras20 ptsSem resposta

Em duas ou três frases, explique como se calcula uma estimativa Monte Carlo, com que rapidez seu erro diminui e por que isso importa em muitas dimensões.

Avaliado por:Média de

f

sobre pontos aleatórios, multiplicada pelo volumeO erro diminui como 1 sobre a raiz de NIsso não depende da dimensão, ao contrário de uma grade0 / 400 caracteres

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