التكاملات متعددة المتغيرات بطريقة مونت كارلو

التكاملات بالعيّنات

يجمع التكامل المتعدد دالة على منطقة، $\iint_R f\,dA$. قليل منها يُحلّ يدويًا، ومع ذلك تمتلئ المالية بها: العائد المتوقع لمشتق، واحتمال الخسارة، وسعر خيار على سلة، كلها تكاملات في أبعاد كثيرة.

تقدّر طريقة مونت كارلو التكامل بالعيّنات. اسحب $N$ نقطة عشوائية $\mathbf{x}_i$ بانتظام داخل منطقة ذات حجم معروف $V$ تحتوي المجال، وخذ متوسط $f$ عليها واضربه في $V$. التقدير نفسه عشوائي وخطؤه المعياري $\sigma/\sqrt{N}$: ولتخفيض الخطأ إلى النصف تحتاج أربعة أضعاف النقاط.

ميزتها الكبرى هي البُعد. شبكة من 10 نقاط على كل محور تحتاج $10^d$ نقطة في $d$ بعدًا، أي $10^{10}$ عند $d=10$. أما خطأ مونت كارلو فيظل يتناقص بـ $1/\sqrt{N}$ أيًّا كان $d$. وفي المساحات والأحجام يؤول الأمر إلى الإصابة أو الإخفاق: نسبة النقاط العشوائية التي تقع داخل الشكل مضروبة في حجم الصندوق.

• التقدير: $V$ مضروبًا في متوسط $f$ على نقاط عشوائية منتظمة.
• الخطأ المعياري: $\sigma/\sqrt{N}$؛ أربعة أضعاف النقاط تخفضه إلى النصف.
• الإصابة أو الإخفاق: المساحة أو الحجم هو نسبة النقاط الداخلية مضروبة في حجم الصندوق.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• تكامل مزدوج دقيق15 نقطة
• الخطأ المعياري15 نقطة
• كم نقطة إضافية15 نقطة
• حجم بالإصابة أو الإخفاق15 نقطة
• لماذا مونت كارلو في أبعاد كثيرة10 نقطة
• وصفة مونت كارلو10 نقطة
• لماذا ينجح أخذ العيّنات20 نقطة