モンテカルロ法による多変数積分

スキル上の位置モジュール 2/4 · トピック 3/3

2.3 モンテカルロ法による多変数積分

—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

標本抽出による積分

重積分は領域 $R$ 上で関数を足し合わせます： $\iint_R f\,dA$ 。手で解けるものはわずかですが、金融には山ほどあります。デリバティブの期待ペイオフ、損失の確率、バスケットオプションの価格は、いずれも多次元の積分です。

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

モンテカルロ法は標本抽出で積分を推定します。定義域を含む既知の体積 $V$ の領域に一様に $N$ 個のランダムな点 $\mathbf{x}_i$ を取り、その上で $f$ を平均して $V$ を掛けます。推定値自体が確率的で、標準誤差は $\sigma/\sqrt{N}$ です。誤差を半分にするには4倍の点が必要です。

最大の利点は次元です。各軸10点の格子は $d$ 次元で $10^d$ 点が必要で、 $d=10$ なら $10^{10}$ 点です。モンテカルロの誤差は $d$ に関係なく $1/\sqrt{N}$ で減ります。面積や体積では、ヒット・オア・ミスになります。図形の内側に入った点の割合に、箱の体積を掛けます。

推定値：一様乱数点での $f$ の平均に $V$ を掛けたもの。
標準誤差： $\sigma/\sqrt{N}$ 。点を4倍にすると半分になる。
ヒット・オア・ミス：面積や体積は、内側の点の割合に箱の体積を掛けたもの。

ヒット・オア・ミスで体積を求める体積8の立方体

[-1,1]^3

にランダムな点を投げます。

x^2+y^2+z^2\le 1

なら単位球の内側です。内側に入る正確な割合は

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0.5236

で、10万点なら約52,360点が内側に入り、割合の標準誤差は

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0.0016

です。

答えは乱数の種で変わる異なる乱数の種で2回実行すると、推定値は少し違います。推定値自体が確率的だからです。値と一緒に必ず標準誤差を示し、再現できる結果が必要なときは、このコースのラボのように種を固定します。

ラボ：採点される内容

厳密な二重積分15点
標準誤差15点
何倍の点が必要か15点
ヒット・オア・ミスの体積15点
なぜ高次元でモンテカルロか10点
モンテカルロ法の手順10点
標本抽出が有効な理由20点

0/ 7問回答済み

1数値で答える15点未回答

$\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ を計算してください。モンテカルロ推定が近づくべき値です。

I =

許容:± 0.001

2数値で答える15点未回答

$f(\mathbf{x}_i)$ の標準偏差は $\sigma=0.5$ で、 $N=10{,}000$ 点を使います。平均の標準誤差 $\sigma/\sqrt{N}$ はいくつですか。

SE =

許容:± 0.0001

3数値で答える15点未回答

標準誤差を4分の1にするには、 $N$ を何倍にすればよいですか。

factor =

許容:± 0.001

4数値で答える15点未回答

ランダムな点が立方体 $[-1,1]^3$ を満たします。単位球の内側に入る割合はいくつになるはずですか。 $\pi/6$ を小数第4位まで答えてください。

p =

許容:± 0.001

5選択10点未回答

10次元の積分で、格子よりモンテカルロが好まれるのはなぜですか。

6手順を並べ替える10点未回答

モンテカルロ積分の手順を並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1各点で $f$ を計算する
2領域を含む既知の体積 $V$ の箱を選ぶ
3値を平均して $V$ を掛ける
4箱の中に一様に $N$ 個のランダム点を取る

7言葉で説明する20点未回答

モンテカルロ推定の計算方法、誤差の減る速さ、そしてそれが多次元で重要な理由を2〜3文で説明してください。

採点基準:ランダム点での

f

の平均に体積を掛ける誤差は

1/\sqrt{N}

で減る格子と違い、次元に依存しない0 / 400文字

数学モードキーボードまたは LaTeX で入力問題1/7 · Ctrl ⏎ で確認

モンテカルロ法による多変数積分

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2.3 モンテカルロ法による多変数積分

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標本抽出による積分

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

推定値：一様乱数点での $f$ の平均に $V$ を掛けたもの。
標準誤差： $\sigma/\sqrt{N}$ 。点を4倍にすると半分になる。
ヒット・オア・ミス：面積や体積は、内側の点の割合に箱の体積を掛けたもの。

ヒット・オア・ミスで体積を求める体積8の立方体

[-1,1]^3

にランダムな点を投げます。

x^2+y^2+z^2\le 1

なら単位球の内側です。内側に入る正確な割合は

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0.5236

で、10万点なら約52,360点が内側に入り、割合の標準誤差は

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0.0016

です。

ラボ：採点される内容

厳密な二重積分15点
標準誤差15点
何倍の点が必要か15点
ヒット・オア・ミスの体積15点
なぜ高次元でモンテカルロか10点
モンテカルロ法の手順10点
標本抽出が有効な理由20点

0/ 7問回答済み

1数値で答える15点未回答

$\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ を計算してください。モンテカルロ推定が近づくべき値です。

I =

許容:± 0.001

2数値で答える15点未回答

$f(\mathbf{x}_i)$ の標準偏差は $\sigma=0.5$ で、 $N=10{,}000$ 点を使います。平均の標準誤差 $\sigma/\sqrt{N}$ はいくつですか。

SE =

許容:± 0.0001

3数値で答える15点未回答

標準誤差を4分の1にするには、 $N$ を何倍にすればよいですか。

factor =

許容:± 0.001

4数値で答える15点未回答

ランダムな点が立方体 $[-1,1]^3$ を満たします。単位球の内側に入る割合はいくつになるはずですか。 $\pi/6$ を小数第4位まで答えてください。

p =

許容:± 0.001

5選択10点未回答

10次元の積分で、格子よりモンテカルロが好まれるのはなぜですか。

6手順を並べ替える10点未回答

モンテカルロ積分の手順を並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1各点で $f$ を計算する
2領域を含む既知の体積 $V$ の箱を選ぶ
3値を平均して $V$ を掛ける
4箱の中に一様に $N$ 個のランダム点を取る

7言葉で説明する20点未回答

モンテカルロ推定の計算方法、誤差の減る速さ、そしてそれが多次元で重要な理由を2〜3文で説明してください。

採点基準:ランダム点での

f

の平均に体積を掛ける誤差は

1/\sqrt{N}

で減る格子と違い、次元に依存しない0 / 400文字

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ラボ：採点される内容

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