Integrales multivariables por Monte Carlo

Integrales por muestreo

Una integral múltiple suma una función sobre una región, $\iint_R f\,dA$. Pocas se pueden resolver a mano, y sin embargo las finanzas están llenas de ellas: el pago esperado de un derivado, la probabilidad de una pérdida y el precio de una opción sobre cesta son integrales en muchas dimensiones.

Monte Carlo estima la integral por muestreo. Se toman $N$ puntos aleatorios $\mathbf{x}_i$ uniformes en una región de volumen conocido $V$ que contenga el dominio, se promedia $f$ sobre ellos y se multiplica por $V$. La estimación es en sí aleatoria, con un error estándar $\sigma/\sqrt{N}$: para reducir el error a la mitad se necesitan cuatro veces más puntos.

Su gran ventaja es la dimensión. Una malla de 10 puntos por eje requiere $10^d$ puntos en $d$ dimensiones, es decir $10^{10}$ para $d=10$. El error de Monte Carlo sigue disminuyendo como $1/\sqrt{N}$ sea cual sea $d$. Para áreas y volúmenes se reduce a acierto o fallo: la fracción de puntos aleatorios que caen dentro de la figura, por el volumen de la caja.

• Estimación: $V$ por el promedio de $f$ sobre puntos aleatorios uniformes.
• Error estándar: $\sigma/\sqrt{N}$; cuatro veces más puntos la reducen a la mitad.
• Acierto o fallo: el área o volumen es la fracción de puntos dentro por el volumen de la caja.

Lab: qué se califica

• Una integral doble exacta15 pts
• El error estándar15 pts
• Cuántos puntos más15 pts
• Un volumen por acierto o fallo15 pts
• Por qué Monte Carlo en muchas dimensiones10 pts
• La receta de Monte Carlo10 pts
• Por qué funciona el muestreo20 pts