用蒙特卡洛计算多元积分

路线进度模块 2/4 · 主题 3/3

2.3 用蒙特卡洛计算多元积分

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

用抽样计算积分

多重积分是在区域 $R$ 上对函数求和： $\iint_R f\,dA$ 。能手算的很少，但金融里到处都是：衍生品的期望收益、亏损的概率、一篮子期权的价格，都是高维积分。

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

蒙特卡洛通过抽样估计积分：在包含积分区域、体积已知为 $V$ 的区域内均匀抽取 $N$ 个随机点 $\mathbf{x}_i$ ，对 $f$ 求平均再乘以 $V$ 。估计值本身是随机的，标准误差为 $\sigma/\sqrt{N}$ ：要把误差减半，需要四倍的点。

它的最大优势在于维数。每个坐标轴取 10 个点的网格在 $d$ 维需要 $10^d$ 个点， $d=10$ 时是 $10^{10}$ 。而蒙特卡洛的误差无论 $d$ 多大都按 $1/\sqrt{N}$ 缩小。对于面积和体积，它简化为“命中与否”：随机点落入图形内的比例乘以外框的体积。

估计值：均匀随机点上 $f$ 的平均值乘以 $V$ 。
标准误差： $\sigma/\sqrt{N}$ ；点数增至四倍则误差减半。
命中与否法：面积或体积等于内部点所占比例乘以外框体积。

用命中与否法求体积向体积为 8 的立方体

[-1,1]^3

中随机投点。当

x^2+y^2+z^2\le 1

时点在单位球内。内部的精确比例是

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0.5236

，所以 100,000 个点中约有 52,360 个落在球内，比例的标准误差为

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0.0016

。

答案会随随机种子变化用不同随机种子运行两次，得到的估计会略有不同，因为估计本身是随机的。请在数值旁边始终给出标准误差，需要可复现结果时要固定种子，本课程的实验就是这样做的。

实验：评分内容

精确的二重积分15 分
标准误差15 分
需要多多少个点15 分
命中与否法求体积15 分
为什么高维用蒙特卡洛10 分
蒙特卡洛的步骤10 分
为什么抽样有效20 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

计算 $\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ 。这是蒙特卡洛估计应当逼近的值。

I =

允许误差:± 0.001

2数值作答15 分未作答

$f(\mathbf{x}_i)$ 的标准差为 $\sigma=0.5$ ，使用 $N=10{,}000$ 个点。平均值的标准误差 $\sigma/\sqrt{N}$ 是多少？

SE =

允许误差:± 0.0001

3数值作答15 分未作答

要把标准误差降到原来的四分之一， $N$ 要乘以多少倍？

factor =

允许误差:± 0.001

4数值作答15 分未作答

随机点充满立方体 $[-1,1]^3$ 。应有多大比例落入单位球内？请给出 $\pi/6$ ，保留 4 位小数。

p =

允许误差:± 0.001

5选择10 分未作答

对于 10 维积分，为什么优先用蒙特卡洛而不是网格？

6排列步骤10 分未作答

给蒙特卡洛积分的步骤排序。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1在每个点上计算 $f$
2选择包含该区域、体积已知为 $V$ 的外框
3对这些值求平均并乘以 $V$
4在外框内均匀随机抽取 $N$ 个点

7用文字解释20 分未作答

请用两三句话说明蒙特卡洛估计如何计算、误差缩小得多快，以及为什么这在高维下很重要。

评分依据:对随机点上的

f

求平均并乘以体积误差按 1/√N 缩小与网格不同，它与维数无关0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

用蒙特卡洛计算多元积分

路线进度模块 2/4 · 主题 3/3

2.3 用蒙特卡洛计算多元积分

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

用抽样计算积分

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

估计值：均匀随机点上 $f$ 的平均值乘以 $V$ 。
标准误差： $\sigma/\sqrt{N}$ ；点数增至四倍则误差减半。
命中与否法：面积或体积等于内部点所占比例乘以外框体积。

用命中与否法求体积向体积为 8 的立方体

[-1,1]^3

中随机投点。当

x^2+y^2+z^2\le 1

时点在单位球内。内部的精确比例是

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0.5236

，所以 100,000 个点中约有 52,360 个落在球内，比例的标准误差为

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0.0016

。

实验：评分内容

精确的二重积分15 分
标准误差15 分
需要多多少个点15 分
命中与否法求体积15 分
为什么高维用蒙特卡洛10 分
蒙特卡洛的步骤10 分
为什么抽样有效20 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

计算 $\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ 。这是蒙特卡洛估计应当逼近的值。

I =

允许误差:± 0.001

2数值作答15 分未作答

$f(\mathbf{x}_i)$ 的标准差为 $\sigma=0.5$ ，使用 $N=10{,}000$ 个点。平均值的标准误差 $\sigma/\sqrt{N}$ 是多少？

SE =

允许误差:± 0.0001

3数值作答15 分未作答

要把标准误差降到原来的四分之一， $N$ 要乘以多少倍？

factor =

允许误差:± 0.001

4数值作答15 分未作答

随机点充满立方体 $[-1,1]^3$ 。应有多大比例落入单位球内？请给出 $\pi/6$ ，保留 4 位小数。

p =

允许误差:± 0.001

5选择10 分未作答

对于 10 维积分，为什么优先用蒙特卡洛而不是网格？

6排列步骤10 分未作答

给蒙特卡洛积分的步骤排序。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1在每个点上计算 $f$
2选择包含该区域、体积已知为 $V$ 的外框
3对这些值求平均并乘以 $V$
4在外框内均匀随机抽取 $N$ 个点

7用文字解释20 分未作答

请用两三句话说明蒙特卡洛估计如何计算、误差缩小得多快，以及为什么这在高维下很重要。

评分依据:对随机点上的

f

求平均并乘以体积误差按 1/√N 缩小与网格不同，它与维数无关0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

用蒙特卡洛计算多元积分

用抽样计算积分

实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。

用蒙特卡洛计算多元积分

用抽样计算积分

实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。