Mehrdimensionale Integrale per Monte-Carlo

Position in der SkillModul 2 von 4 · Thema 3 von 3

2.3 Mehrdimensionale Integrale per Monte-Carlo

—Lab-Punkte— / 100XP gesamt—Serie—

Integrale durch Stichproben

Ein Mehrfachintegral summiert eine Funktion über einen Bereich, $\iint_R f\,dA$ . Wenige lassen sich von Hand lösen, doch die Finanzwelt ist voll davon: der erwartete Auszahlungsbetrag eines Derivats, die Verlustwahrscheinlichkeit, der Preis einer Korbbeoption sind Integrale über viele Dimensionen.

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

Monte-Carlo schätzt das Integral durch Stichproben. Ziehen Sie $N$ Zufallspunkte $\mathbf{x}_i$ gleichverteilt in einem Bereich bekannten Volumens $V$ , der das Gebiet enthält, mitteln Sie $f$ darüber und multiplizieren Sie mit $V$ . Die Schätzung ist selbst zufällig, mit Standardfehler $\sigma/\sqrt{N}$ : Um den Fehler zu halbieren, braucht man viermal so viele Punkte.

Ihr großer Vorteil ist die Dimension. Ein Gitter mit 10 Punkten pro Achse braucht in $d$ Dimensionen $10^d$ Punkte, bei $d=10$ also $10^{10}$ . Der Fehler von Monte-Carlo schrumpft dagegen weiterhin wie $1/\sqrt{N}$ , egal wie groß $d$ ist. Für Flächen und Volumina läuft es auf Treffer oder Fehlschuss hinaus: der Anteil zufälliger Punkte in der Form mal das Volumen der Box.

Schätzung: $V$ mal der Mittelwert von $f$ über gleichverteilte Zufallspunkte.
Standardfehler: $\sigma/\sqrt{N}$ ; viermal so viele Punkte halbieren ihn.
Treffer oder Fehlschuss: Fläche oder Volumen ist der Anteil der Punkte innen mal das Boxvolumen.

Ein Volumen per Treffer oder FehlschussWerfen Sie Zufallspunkte in den Würfel

[-1,1]^3

mit Volumen 8. Ein Punkt liegt in der Einheitskugel, wenn

x^2+y^2+z^2\le 1

. Der exakte Anteil innen ist

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}5236

; bei 100.000 Punkten liegen etwa 52.360 innen, mit Standardfehler

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0{,}0016

beim Anteil.

Die Antwort ändert sich mit dem SeedZwei Läufe mit verschiedenen Seeds liefern leicht unterschiedliche Schätzungen, weil die Schätzung zufällig ist. Geben Sie neben dem Wert immer den Standardfehler an und fixieren Sie den Seed, wenn Sie ein reproduzierbares Ergebnis brauchen, wie es die Labs dieses Kurses tun.

Lab: Was bewertet wird

Ein exaktes Doppelintegral15 Pkt.
Der Standardfehler15 Pkt.
Wie viele Punkte mehr15 Pkt.
Ein Volumen per Treffer oder Fehlschuss15 Pkt.
Warum Monte-Carlo in vielen Dimensionen10 Pkt.
Das Monte-Carlo-Rezept10 Pkt.
Warum Stichproben funktionieren20 Pkt.

0/ 7 beantwortet

1Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Berechnen Sie $\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ . Diesem Wert soll sich eine Monte-Carlo-Schätzung nähern.

I =

akzeptiert: ± 0.001

2Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Die Werte $f(\mathbf{x}_i)$ haben die Standardabweichung $\sigma=0{,}5$ , und Sie nutzen $N=10.000$ Punkte. Wie groß ist der Standardfehler $\sigma/\sqrt{N}$ des Mittelwerts?

SE =

akzeptiert: ± 0.0001

3Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Mit welchem Faktor muss $N$ multipliziert werden, um den Standardfehler auf ein Viertel zu senken?

factor =

akzeptiert: ± 0.001

4Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Zufallspunkte füllen den Würfel $[-1,1]^3$ . Welcher Anteil sollte in der Einheitskugel landen? Geben Sie $\pi/6$ auf 4 Dezimalstellen an.

p =

akzeptiert: ± 0.001

5Auswahl10 Pkt.Nicht beantwortet

Warum wird Monte-Carlo einem Gitter für ein Integral in 10 Dimensionen vorgezogen?

6Schritte ordnen10 Pkt.Nicht beantwortet

Bringen Sie die Schritte eines Monte-Carlo-Integrals in Reihenfolge.

Zum Umsortieren ziehen, oder ein Element fokussieren, mit Leertaste anheben, mit Pfeiltasten bewegen und mit Leertaste ablegen.

1 $f$ an jedem Punkt auswerten
2Eine Box bekannten Volumens $V$ wählen, die den Bereich enthält
3Die Werte mitteln und mit $V$ multiplizieren
4 $N$ Zufallspunkte gleichverteilt in der Box ziehen

7In Worten erklären20 Pkt.Nicht beantwortet

Erklären Sie in zwei oder drei Sätzen, wie eine Monte-Carlo-Schätzung berechnet wird, wie schnell ihr Fehler schrumpft und warum das in vielen Dimensionen wichtig ist.

Bewertet nach:Mittelwert von

f

über Zufallspunkte, mit dem Volumen multipliziertDer Fehler schrumpft wie 1 durch die Wurzel aus NDas hängt nicht von der Dimension ab, anders als bei einem Gitter0 / 400 Zeichen

Mathe-ModusEingabe per Tastatur oder LaTeXAufgabe 1 von 7 · Strg ⏎ zum Prüfen

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2.3 Mehrdimensionale Integrale per Monte-Carlo

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Integrale durch Stichproben

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

Schätzung: $V$ mal der Mittelwert von $f$ über gleichverteilte Zufallspunkte.
Standardfehler: $\sigma/\sqrt{N}$ ; viermal so viele Punkte halbieren ihn.
Treffer oder Fehlschuss: Fläche oder Volumen ist der Anteil der Punkte innen mal das Boxvolumen.

Ein Volumen per Treffer oder FehlschussWerfen Sie Zufallspunkte in den Würfel

[-1,1]^3

mit Volumen 8. Ein Punkt liegt in der Einheitskugel, wenn

x^2+y^2+z^2\le 1

. Der exakte Anteil innen ist

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}5236

; bei 100.000 Punkten liegen etwa 52.360 innen, mit Standardfehler

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0{,}0016

beim Anteil.

Lab: Was bewertet wird

Ein exaktes Doppelintegral15 Pkt.
Der Standardfehler15 Pkt.
Wie viele Punkte mehr15 Pkt.
Ein Volumen per Treffer oder Fehlschuss15 Pkt.
Warum Monte-Carlo in vielen Dimensionen10 Pkt.
Das Monte-Carlo-Rezept10 Pkt.
Warum Stichproben funktionieren20 Pkt.

0/ 7 beantwortet

1Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Berechnen Sie $\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ . Diesem Wert soll sich eine Monte-Carlo-Schätzung nähern.

I =

akzeptiert: ± 0.001

2Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Die Werte $f(\mathbf{x}_i)$ haben die Standardabweichung $\sigma=0{,}5$ , und Sie nutzen $N=10.000$ Punkte. Wie groß ist der Standardfehler $\sigma/\sqrt{N}$ des Mittelwerts?

SE =

akzeptiert: ± 0.0001

3Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Mit welchem Faktor muss $N$ multipliziert werden, um den Standardfehler auf ein Viertel zu senken?

factor =

akzeptiert: ± 0.001

4Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Zufallspunkte füllen den Würfel $[-1,1]^3$ . Welcher Anteil sollte in der Einheitskugel landen? Geben Sie $\pi/6$ auf 4 Dezimalstellen an.

p =

akzeptiert: ± 0.001

5Auswahl10 Pkt.Nicht beantwortet

Warum wird Monte-Carlo einem Gitter für ein Integral in 10 Dimensionen vorgezogen?

6Schritte ordnen10 Pkt.Nicht beantwortet

Bringen Sie die Schritte eines Monte-Carlo-Integrals in Reihenfolge.

Zum Umsortieren ziehen, oder ein Element fokussieren, mit Leertaste anheben, mit Pfeiltasten bewegen und mit Leertaste ablegen.

1 $f$ an jedem Punkt auswerten
2Eine Box bekannten Volumens $V$ wählen, die den Bereich enthält
3Die Werte mitteln und mit $V$ multiplizieren
4 $N$ Zufallspunkte gleichverteilt in der Box ziehen

7In Worten erklären20 Pkt.Nicht beantwortet

Erklären Sie in zwei oder drei Sätzen, wie eine Monte-Carlo-Schätzung berechnet wird, wie schnell ihr Fehler schrumpft und warum das in vielen Dimensionen wichtig ist.

Bewertet nach:Mittelwert von

f

über Zufallspunkte, mit dem Volumen multipliziertDer Fehler schrumpft wie 1 durch die Wurzel aus NDas hängt nicht von der Dimension ab, anders als bei einem Gitter0 / 400 Zeichen

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