Taylor-Reihen

Eine Funktion durch ein Polynom ersetzen

In der Nähe eines Punktes sieht eine glatte Funktion aus wie ein Polynom aus ihren Ableitungen dort. Das ist die Taylor-Reihe: Ausgehend von $x$ und mit einem kleinen Schritt $h$ ändert sich die Funktion um ihre Steigung mal $h$, plus eine Korrektur aus der Krümmung, plus kleinere Korrekturen aus höheren Ableitungen.

Vier Reihen lohnt es sich zu kennen, nahe 0: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ und $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$. Nach wenigen Termen abzubrechen ergibt eine günstige Näherung, deren Fehler etwa dem ersten fehlenden Term entspricht.

Die Finanzwelt nutzt das täglich. Der Preis $P$ einer Anleihe hängt von der Rendite $y$ ab; in zweiter Ordnung gilt $\Delta P\approx -D\,P\,\Delta y+\tfrac{1}{2}C\,P\,(\Delta y)^2$, wobei $D$ die modifizierte Duration (der Steigungsterm) und $C$ die Konvexität (der Krümmungsterm) ist. Dieselbe Form erscheint als Delta und Gamma einer Option: $\Delta V\approx \Delta\cdot\Delta S+\tfrac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2$.

Lab: Was bewertet wird

• Die Reihe der Exponentialfunktion15 Pkt.
• Den Sinus annähern15 Pkt.
• Die Größe des Fehlers15 Pkt.
• Die Preisänderung einer Anleihe20 Pkt.
• Welcher Term ist die Krümmung10 Pkt.
• Eine Reihe von Hand15 Pkt.
• Funktionen und ihre Reihen10 Pkt.