متسلسلات تايلور

استبدال دالة بكثير حدود

قرب نقطة تشبه الدالة الملساء كثير حدود مبنيًا من مشتقاتها عند تلك النقطة. هذه هي متسلسلة تايلور: بالبدء من $x$ والتحرك خطوة صغيرة $h$ تتغير الدالة بمقدار ميلها × $h$، مضافًا إليه تصحيح من انحنائها، وتصحيحات أصغر من المشتقات الأعلى.

من المفيد معرفة أربع متسلسلات قرب 0: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$ و$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$ و$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ و$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$. والاقتصار على بضعة حدود يعطي تقريبًا رخيصًا خطؤه يقارب أول حد محذوف.

تستخدمه المالية يوميًا. سعر السند $P$ يعتمد على العائد $y$؛ وإلى الدرجة الثانية $\Delta P\approx -D\,P\,\Delta y+\tfrac{1}{2}C\,P\,(\Delta y)^2$، حيث $D$ المدة المعدّلة (حد الميل) و$C$ التحدّب (حد الانحناء). وتظهر الصورة نفسها كدلتا وغاما للخيار: $\Delta V\approx \Delta\cdot\Delta S+\tfrac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• متسلسلة الدالة الأسية15 نقطة
• تقريب الجيب15 نقطة
• حجم الخطأ15 نقطة
• تغيّر سعر سند20 نقطة
• أي حد هو الانحناء10 نقطة
• متسلسلة يدويًا15 نقطة
• الدوال ومتسلسلاتها10 نقطة