Series de Taylor

Sustituir una función por un polinomio

Cerca de un punto, una función suave se parece a un polinomio construido con sus derivadas allí. Es la serie de Taylor: partiendo de $x$ y dando un pequeño paso $h$, la función cambia en su pendiente por $h$, más una corrección por su curvatura, más correcciones menores de derivadas superiores.

Vale la pena conocer cuatro series cerca de 0: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ y $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$. Truncar tras unos pocos términos da una aproximación barata cuyo error es aproximadamente el primer término omitido.

Las finanzas lo usan a diario. El precio $P$ de un bono depende del rendimiento $y$; a segundo orden $\Delta P\approx -D\,P\,\Delta y+\tfrac{1}{2}C\,P\,(\Delta y)^2$, donde $D$ es la duración modificada (el término de pendiente) y $C$ la convexidad (el término de curvatura). La misma forma aparece como delta y gamma de una opción: $\Delta V\approx \Delta\cdot\Delta S+\tfrac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2$.

Lab: qué se califica

• La serie de la exponencial15 pts
• Aproximar el seno15 pts
• El tamaño del error15 pts
• El cambio del precio de un bono20 pts
• Qué término es la curvatura10 pts
• Una serie a mano15 pts
• Funciones y sus series10 pts