Differentialgleichungen: Euler und RK4

Position in der SkillModul 3 von 4 · Thema 2 von 2

3.2 Differentialgleichungen: Euler und RK4

—Lab-Punkte— / 100XP gesamt—Serie—

Einer Änderungsrate folgen

Eine Differentialgleichung sagt, wie schnell sich eine Größe ändert: $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$ . Geld, das mit stetiger Rate $r$ wächst, erfüllt $\frac{dy}{dt}=ry$ mit der Lösung $y_0e^{rt}$ . Ein kurzer Zins, der zu einem langfristigen Niveau $\theta$ zurückgezogen wird, erfüllt $\frac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ . Nur wenige Gleichungen haben eine Lösungsformel, daher schreiten wir numerisch durch die Zeit.

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

Das Euler-Verfahren folgt der Tangente für einen kurzen Schritt $h$ : neuer Wert = alter Wert + Schritt × Steigung. Es ist einfach, aber nur erster Ordnung: Halbiert man $h$ , halbiert sich der Fehler. Runge-Kutta 4. Ordnung (RK4) tastet die Steigung viermal pro Schritt ab und mischt sie, $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ , und sein Fehler schrumpft wie $h^4$ : Halbiert man $h$ , wird er durch 16 geteilt.

Wachstum mit Rate 1, auf zwei ArtenLösen wir

y'=y

y(0)=1

bis

t=1

mit

h=0{,}5

. Euler:

y_1=1+0{,}5\cdot1=1{,}5

y_2=1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25

, gegenüber

e=2{,}7183

, ein Fehler von 0,4683. RK4 für einen Schritt bis

t=0{,}5

k_1=1

k_2=1{,}25

k_3=1{,}3125

k_4=1{,}65625

, also

y=1+\frac{0{,}5}{6}(1+2{,}5+2{,}625+1{,}65625)=1{,}6484

, gegenüber dem wahren

e^{0{,}5}=1{,}6487

Euler: $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ , Genauigkeit erster Ordnung.
RK4: vier Steigungen pro Schritt mit den Gewichten 1, 2, 2, 1; Genauigkeit vierter Ordnung.
Abbruchfehler: was verloren geht, wenn man schrittweise statt exakt löst.

Ein kleinerer Schritt ist nicht umsonstDen Schritt zu halbieren verdoppelt die Zahl der Schritte. Ab einem gewissen Punkt wächst der Rundungsfehler, während der Abbruchfehler keine Rolle mehr spielt, und manche steifen Gleichungen divergieren, wenn der Schritt nicht klein genug ist. Vergleichen Sie zwei Schrittweiten, um den Fehler zu schätzen, bevor Sie einem Ergebnis trauen.

Lab: Was bewertet wird

Zwei Euler-Schritte15 Pkt.
Der Euler-Fehler15 Pkt.
Ein RK4-Schritt20 Pkt.
Genauigkeitsordnungen10 Pkt.
Den Schritt halbieren15 Pkt.
Die Euler-Schleife10 Pkt.
Warum RK4 Euler schlägt15 Pkt.

0/ 7 beantwortet

1Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Betrachten Sie $y'=y$ mit $y(0)=1$ und Schritt $h=0{,}5$ . Machen Sie zwei Euler-Schritte und geben Sie $y_2$ (die Schätzung von $y(1)$ ) an.

y_2 =

akzeptiert: ± 0.001

2Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Betrachten Sie $y'=y$ mit $y(0)=1$ und Schritt $h=0{,}5$ . Die exakte Lösung ist $y(1)=e=2{,}7183$ . Wie weit liegt die Euler-Schätzung $y_2=2{,}25$ davon entfernt?

\text{error} =

akzeptiert: ± 0.001

3Numerische Antwort20 Pkt.Nicht beantwortet

Betrachten Sie $y'=y$ mit $y(0)=1$ und Schritt $h=0{,}5$ . Machen Sie einen RK4-Schritt von $t=0$ und geben Sie $y_1$ , die Schätzung von $y(0{,}5)$ , mit 4 Dezimalstellen an. Für $f(t,y)=y$ : $k_1=y_n$ , $k_2=y_n+\frac{h}{2}k_1$ , $k_3=y_n+\frac{h}{2}k_2$ , $k_4=y_n+hk_3$ .

y_1 =

akzeptiert: ± 0.0002

4Auswahl10 Pkt.Nicht beantwortet

Welche Genauigkeitsordnungen haben das Euler-Verfahren und RK4?

5Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Das Euler-Verfahren hat bei Schritt $h=0{,}1$ den Fehler 0,08. Welchen Fehler erwarten Sie ungefähr bei $h=0{,}05$ ?

\text{error} =

akzeptiert: ± 0.005

6Schritte ordnen10 Pkt.Nicht beantwortet

Bringen Sie die Schritte einer Euler-Iteration in Reihenfolge.

Zum Umsortieren ziehen, oder ein Element fokussieren, mit Leertaste anheben, mit Pfeiltasten bewegen und mit Leertaste ablegen.

1 $y\leftarrow y+h\cdot\text{Steigung}$ aktualisieren
2Von den Anfangswerten $t_0$ und $y_0$ ausgehen
3Zeit vorrücken $t\leftarrow t+h$ und wiederholen
4Die Steigung $f(t,y)$ am aktuellen Punkt berechnen

7In Worten erklären15 Pkt.Nicht beantwortet

Erklären Sie in zwei oder drei Sätzen, warum RK4 bei gleicher Schrittweite meist genauer ist als Euler und was es kostet.

Bewertet nach:Er tastet die Steigung mehrmals pro Schritt abSein Fehler schrumpft bei kleinerem Schritt viel schnellerEr kostet mehr Rechenaufwand pro Schritt0 / 400 Zeichen

Mathe-ModusEingabe per Tastatur oder LaTeXAufgabe 1 von 7 · Strg ⏎ zum Prüfen

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Einer Änderungsrate folgen

y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)

(1)

Wachstum mit Rate 1, auf zwei ArtenLösen wir

y'=y

y(0)=1

bis

t=1

mit

h=0{,}5

. Euler:

y_1=1+0{,}5\cdot1=1{,}5

y_2=1{,}5+0{,}5\cdot1{,}5=2{,}25

, gegenüber

e=2{,}7183

, ein Fehler von 0,4683. RK4 für einen Schritt bis

t=0{,}5

k_1=1

k_2=1{,}25

k_3=1{,}3125

k_4=1{,}65625

, also

y=1+\frac{0{,}5}{6}(1+2{,}5+2{,}625+1{,}65625)=1{,}6484

, gegenüber dem wahren

e^{0{,}5}=1{,}6487

Euler: $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ , Genauigkeit erster Ordnung.
RK4: vier Steigungen pro Schritt mit den Gewichten 1, 2, 2, 1; Genauigkeit vierter Ordnung.
Abbruchfehler: was verloren geht, wenn man schrittweise statt exakt löst.

Lab: Was bewertet wird

Zwei Euler-Schritte15 Pkt.
Der Euler-Fehler15 Pkt.
Ein RK4-Schritt20 Pkt.
Genauigkeitsordnungen10 Pkt.
Den Schritt halbieren15 Pkt.
Die Euler-Schleife10 Pkt.
Warum RK4 Euler schlägt15 Pkt.

0/ 7 beantwortet

1Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Betrachten Sie $y'=y$ mit $y(0)=1$ und Schritt $h=0{,}5$ . Machen Sie zwei Euler-Schritte und geben Sie $y_2$ (die Schätzung von $y(1)$ ) an.

y_2 =

akzeptiert: ± 0.001

2Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Betrachten Sie $y'=y$ mit $y(0)=1$ und Schritt $h=0{,}5$ . Die exakte Lösung ist $y(1)=e=2{,}7183$ . Wie weit liegt die Euler-Schätzung $y_2=2{,}25$ davon entfernt?

\text{error} =

akzeptiert: ± 0.001

3Numerische Antwort20 Pkt.Nicht beantwortet

y_1 =

akzeptiert: ± 0.0002

4Auswahl10 Pkt.Nicht beantwortet

Welche Genauigkeitsordnungen haben das Euler-Verfahren und RK4?

5Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Das Euler-Verfahren hat bei Schritt $h=0{,}1$ den Fehler 0,08. Welchen Fehler erwarten Sie ungefähr bei $h=0{,}05$ ?

\text{error} =

akzeptiert: ± 0.005

6Schritte ordnen10 Pkt.Nicht beantwortet

Bringen Sie die Schritte einer Euler-Iteration in Reihenfolge.

Zum Umsortieren ziehen, oder ein Element fokussieren, mit Leertaste anheben, mit Pfeiltasten bewegen und mit Leertaste ablegen.

1 $y\leftarrow y+h\cdot\text{Steigung}$ aktualisieren
2Von den Anfangswerten $t_0$ und $y_0$ ausgehen
3Zeit vorrücken $t\leftarrow t+h$ und wiederholen
4Die Steigung $f(t,y)$ am aktuellen Punkt berechnen

7In Worten erklären15 Pkt.Nicht beantwortet

Erklären Sie in zwei oder drei Sätzen, warum RK4 bei gleicher Schrittweite meist genauer ist als Euler und was es kostet.

Bewertet nach:Er tastet die Steigung mehrmals pro Schritt abSein Fehler schrumpft bei kleinerem Schritt viel schnellerEr kostet mehr Rechenaufwand pro Schritt0 / 400 Zeichen

Mathe-ModusEingabe per Tastatur oder LaTeXAufgabe 1 von 7 · Strg ⏎ zum Prüfen

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