Intégrales multivariées par Monte Carlo

Position dans le parcoursModule 2 sur 4 · Sujet 3 sur 3

2.3 Intégrales multivariées par Monte Carlo

—Score du lab— / 100XP total—Série—

Des intégrales par échantillonnage

Une intégrale multiple additionne une fonction sur une région, $\iint_R f\,dA$ . Peu peuvent se résoudre à la main, et pourtant la finance en regorge : le gain espéré d'un dérivé, la probabilité d'une perte, le prix d'une option sur panier sont des intégrales sur de nombreuses dimensions.

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

Monte Carlo estime l'intégrale par échantillonnage. Tirez $N$ points aléatoires $\mathbf{x}_i$ uniformément dans une région de volume connu $V$ contenant le domaine, faites la moyenne de $f$ sur ces points et multipliez par $V$ . L'estimation est elle-même aléatoire, avec une erreur standard $\sigma/\sqrt{N}$ : pour diviser l'erreur par deux, il faut quatre fois plus de points.

Son grand avantage est la dimension. Une grille de 10 points par axe exige $10^d$ points en dimension $d$ , soit $10^{10}$ pour $d=10$ . L'erreur de Monte Carlo diminue toujours en $1/\sqrt{N}$ quel que soit $d$ . Pour des aires et volumes, cela se réduit à « touché ou raté » : la fraction de points aléatoires tombant dans la forme, multipliée par le volume de la boîte.

Estimation : $V$ fois la moyenne de $f$ sur des points aléatoires uniformes.
Erreur standard : $\sigma/\sqrt{N}$ ; quatre fois plus de points la divisent par deux.
Touché ou raté : l'aire ou le volume est la fraction de points à l'intérieur fois le volume de la boîte.

Un volume par « touché ou raté »Lancez des points aléatoires dans le cube

[-1,1]^3

, de volume 8. Un point est dans la boule unité si

x^2+y^2+z^2\le 1

. La fraction exacte à l'intérieur est

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}5236

; avec 100 000 points, environ 52 360 tombent à l'intérieur, avec une erreur standard

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0{,}0016

sur la fraction.

La réponse change avec la graineDeux exécutions avec des graines différentes donnent des estimations légèrement différentes, car l'estimation est aléatoire. Indiquez toujours l'erreur standard à côté de la valeur, et fixez la graine quand il vous faut un résultat reproductible, comme le font les labs de ce cours.

Lab : ce qui est noté

Une intégrale double exacte15 pts
L'erreur standard15 pts
Combien de points en plus15 pts
Un volume par « touché ou raté »15 pts
Pourquoi Monte Carlo en grande dimension10 pts
La recette de Monte Carlo10 pts
Pourquoi l'échantillonnage marche20 pts

0/ 7 traités

1Réponse numérique15 ptsSans réponse

Calculez $\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ . C'est la valeur dont une estimation de Monte Carlo doit s'approcher.

I =

accepté : ± 0.001

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

Les valeurs $f(\mathbf{x}_i)$ ont un écart-type $\sigma=0{,}5$ et vous utilisez $N=10\,000$ points. Quelle est l'erreur standard $\sigma/\sqrt{N}$ de la moyenne ?

SE =

accepté : ± 0.0001

3Réponse numérique15 ptsSans réponse

Par quel facteur faut-il multiplier $N$ pour ramener l'erreur standard au quart de sa valeur ?

factor =

accepté : ± 0.001

4Réponse numérique15 ptsSans réponse

Des points aléatoires remplissent le cube $[-1,1]^3$ . Quelle fraction doit tomber dans la boule unité ? Donnez $\pi/6$ à 4 décimales.

p =

accepté : ± 0.001

5Choix10 ptsSans réponse

Pourquoi préfère-t-on Monte Carlo à une grille pour une intégrale en dimension 10 ?

6Remettre les étapes dans l'ordre10 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes d'une intégrale de Monte Carlo.

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Évaluer $f$ en chaque point
2Choisir une boîte de volume connu $V$ contenant la région
3Faire la moyenne des valeurs et multiplier par $V$
4Tirer $N$ points aléatoires uniformément dans la boîte

7Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse

En deux ou trois phrases, expliquez comment on calcule une estimation de Monte Carlo, à quelle vitesse son erreur diminue et pourquoi cela compte en grande dimension.

Noté sur :Moyenne de

f

sur des points aléatoires, multipliée par le volumeL'erreur diminue comme 1 sur la racine de NCela ne dépend pas de la dimension, contrairement à une grille0 / 400 caractères

Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 7 · Ctrl ⏎ pour vérifier

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Des intégrales par échantillonnage

\int_R f\,dV \approx V\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(\mathbf{x}_i)

(1)

Estimation : $V$ fois la moyenne de $f$ sur des points aléatoires uniformes.
Erreur standard : $\sigma/\sqrt{N}$ ; quatre fois plus de points la divisent par deux.
Touché ou raté : l'aire ou le volume est la fraction de points à l'intérieur fois le volume de la boîte.

Un volume par « touché ou raté »Lancez des points aléatoires dans le cube

[-1,1]^3

, de volume 8. Un point est dans la boule unité si

x^2+y^2+z^2\le 1

. La fraction exacte à l'intérieur est

\frac{4\pi/3}{8}=\frac{\pi}{6}\approx 0{,}5236

; avec 100 000 points, environ 52 360 tombent à l'intérieur, avec une erreur standard

\sqrt{p(1-p)/N}\approx 0{,}0016

sur la fraction.

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Une intégrale double exacte15 pts
L'erreur standard15 pts
Combien de points en plus15 pts
Un volume par « touché ou raté »15 pts
Pourquoi Monte Carlo en grande dimension10 pts
La recette de Monte Carlo10 pts
Pourquoi l'échantillonnage marche20 pts

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1Réponse numérique15 ptsSans réponse

Calculez $\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy$ . C'est la valeur dont une estimation de Monte Carlo doit s'approcher.

I =

accepté : ± 0.001

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

Les valeurs $f(\mathbf{x}_i)$ ont un écart-type $\sigma=0{,}5$ et vous utilisez $N=10\,000$ points. Quelle est l'erreur standard $\sigma/\sqrt{N}$ de la moyenne ?

SE =

accepté : ± 0.0001

3Réponse numérique15 ptsSans réponse

Par quel facteur faut-il multiplier $N$ pour ramener l'erreur standard au quart de sa valeur ?

factor =

accepté : ± 0.001

4Réponse numérique15 ptsSans réponse

Des points aléatoires remplissent le cube $[-1,1]^3$ . Quelle fraction doit tomber dans la boule unité ? Donnez $\pi/6$ à 4 décimales.

p =

accepté : ± 0.001

5Choix10 ptsSans réponse

Pourquoi préfère-t-on Monte Carlo à une grille pour une intégrale en dimension 10 ?

6Remettre les étapes dans l'ordre10 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes d'une intégrale de Monte Carlo.

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Évaluer $f$ en chaque point
2Choisir une boîte de volume connu $V$ contenant la région
3Faire la moyenne des valeurs et multiplier par $V$
4Tirer $N$ points aléatoires uniformément dans la boîte

7Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse

En deux ou trois phrases, expliquez comment on calcule une estimation de Monte Carlo, à quelle vitesse son erreur diminue et pourquoi cela compte en grande dimension.

Noté sur :Moyenne de

f

sur des points aléatoires, multipliée par le volumeL'erreur diminue comme 1 sur la racine de NCela ne dépend pas de la dimension, contrairement à une grille0 / 400 caractères

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