المصفوفة اليعقوبية والهيسية

مخرجات كثيرة ومدخلات كثيرة

يمكن لدالة $F$ أن تربط عدة مدخلات بعدة مخرجات، مثل عوامل المخاطر بقيم عدة مراكز. مصفوفتها اليعقوبية $J$ هي مصفوفة كل المشتقات الجزئية الأولى، بعنصر $J_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$ . وهي أفضل تقريب خطي: لحركة صغيرة $\Delta$ يكون $F(\mathbf{x}+\Delta)\approx F(\mathbf{x})+J\Delta$ .

J=\begin{pmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y}\\[2pt] \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y}\end{pmatrix}

(1)

لدالة ذات ناتج واحد $f$ تشكل المشتقات الثانية المصفوفة الهيسية $H$ بعنصر $H_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$ . وهي متماثلة للدوال الملساء. تصف الانحناء: $f(\mathbf{x}+\Delta)\approx f+\nabla f\cdot\Delta+\tfrac{1}{2}\Delta^{T}H\Delta$ . وحيث $\nabla f=0$ تدل $H$ موجبة التحديد على نهاية صغرى محلية، وسالبة التحديد على عظمى محلية، والمختلطة على نقطة سرج. وتستخدم طريقة نيوتن في التحسين $H$ لتأخذ خطوات أفضل من النزول التدريجي البسيط.

مصفوفة يعقوبية وهيسية يدويًالـ

F(x,y)=(x^2y,\ x+y^2)

J=\begin{pmatrix}2xy & x^2\\ 1 & 2y\end{pmatrix}

، فعند

(1,2)

تكون

\begin{pmatrix}4&1\\1&4\end{pmatrix}

بمحدّد 15: تُضرب المساحات الصغيرة في نحو 15. ولـ

f(x,y)=x^2y+y^2

f_{xx}=2y

f_{xy}=2x

f_{yy}=2

، فتكون الهيسية عند

(1,2)

هي

\begin{pmatrix}4&2\\2&2\end{pmatrix}

المصفوفة اليعقوبية: مصفوفة المشتقات الجزئية الأولى لدالة متجهية؛ وأفضل نموذج خطي لها.
المصفوفة الهيسية: المصفوفة المتماثلة للمشتقات الجزئية الثانية لدالة قياسية؛ وهي انحناؤها.
هيسية موجبة التحديد عند نقطة حرجة: نهاية صغرى محلية.

لا تقدّر المصفوفة الهيسية بالفروق المنتهية إن أمكنك تجنب ذلكتقسم الفروق الثانية فروقًا ضئيلة على

h^2

مما يضخّم ضجيج التقريب. فضّل الصيغ أو الاشتقاق التلقائي، وإذا اضطررت لاستخدام الفروق فتحقق من أن النتيجة متماثلة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

المصفوفة اليعقوبية عند نقطة20 نقطة
المصفوفة الهيسية عند نقطة20 نقطة
محدّد المصفوفة اليعقوبية15 نقطة
قراءة المصفوفة الهيسية15 نقطة
التقريب الخطي15 نقطة
ما تصفه كل مصفوفة15 نقطة

مخرجات كثيرة ومدخلات كثيرة

J=\begin{pmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y}\\[2pt] \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y}\end{pmatrix}

(1)

مصفوفة يعقوبية وهيسية يدويًالـ

F(x,y)=(x^2y,\ x+y^2)

J=\begin{pmatrix}2xy & x^2\\ 1 & 2y\end{pmatrix}

، فعند

(1,2)

تكون

\begin{pmatrix}4&1\\1&4\end{pmatrix}

بمحدّد 15: تُضرب المساحات الصغيرة في نحو 15. ولـ

f(x,y)=x^2y+y^2

f_{xx}=2y

f_{xy}=2x

f_{yy}=2

، فتكون الهيسية عند

(1,2)

هي

\begin{pmatrix}4&2\\2&2\end{pmatrix}

المصفوفة اليعقوبية: مصفوفة المشتقات الجزئية الأولى لدالة متجهية؛ وأفضل نموذج خطي لها.
المصفوفة الهيسية: المصفوفة المتماثلة للمشتقات الجزئية الثانية لدالة قياسية؛ وهي انحناؤها.
هيسية موجبة التحديد عند نقطة حرجة: نهاية صغرى محلية.

لا تقدّر المصفوفة الهيسية بالفروق المنتهية إن أمكنك تجنب ذلكتقسم الفروق الثانية فروقًا ضئيلة على

h^2

المختبر: ما الذي يُقيَّم

المصفوفة اليعقوبية عند نقطة20 نقطة
المصفوفة الهيسية عند نقطة20 نقطة
محدّد المصفوفة اليعقوبية15 نقطة
قراءة المصفوفة الهيسية15 نقطة
التقريب الخطي15 نقطة
ما تصفه كل مصفوفة15 نقطة

المصفوفة اليعقوبية والهيسية

مخرجات كثيرة ومدخلات كثيرة

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

المصفوفة اليعقوبية والهيسية

مخرجات كثيرة ومدخلات كثيرة

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.