Multiplicadores de Lagrange

Posición en la rutaMódulo 4 de 4 · Tema 2 de 3

4.2 Multiplicadores de Lagrange

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

Optimizar con una restricción

Sin restricciones, una función suave tiene su máximo o mínimo donde el gradiente es cero, $\nabla f=0$ . Los problemas reales traen restricciones: un presupuesto fijo, pesos de cartera que deben sumar 1, un límite de riesgo. Se busca entonces el mejor punto sobre una curva o superficie $g(x,y)=c$ , no en cualquier parte del plano.

\nabla f=\lambda\,\nabla g,\qquad g(x,y)=c

(1)

En el óptimo con restricción, la curva de nivel de $f$ solo toca la restricción, así que los dos gradientes son paralelos: $\nabla f=\lambda\nabla g$ . Se agrupa en el lagrangiano $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(g(x,y)-c)$ y se igualan a cero todas sus derivadas parciales: las ecuaciones en $x$ e $y$ dan los gradientes paralelos y la de $\lambda$ devuelve la restricción.

El multiplicador $\lambda$ tiene un significado: es el precio sombra de la restricción, la tasa a la que cambia el valor óptimo cuando se relaja la restricción en una unidad, $\frac{dV^*}{dc}=\lambda$ . En una cartera de mínima varianza con pesos que suman 1, indica cuánta varianza compraría un poco más de presupuesto.

Un problema de presupuestoMaximicemos

f=xy

sujeto a

x+y=10

. Aquí

\nabla f=(y,x)

\nabla g=(1,1)

, así que

y=\lambda

x=\lambda

, por tanto

x=y=5

\lambda=5

y el máximo es 25. Si el presupuesto sube a 11, el máximo pasa a ser

5{,}5\times5{,}5=30{,}25

: una ganancia de 5,25, cercana a

\lambda\times1=5

Candidatos, no garantíasIgualar a cero las derivadas del lagrangiano encuentra puntos candidatos. Aún hay que decidir si cada uno es un máximo, un mínimo o ninguno, y las restricciones escritas como desigualdades (

x\ge0

) requieren las condiciones KKT, que extienden esta idea.

Lab: qué se califica

El lagrangiano15 pts
El x óptimo20 pts
El valor máximo15 pts
El multiplicador15 pts
La geometría10 pts
Una minimización15 pts
Qué significa el multiplicador10 pts

0/ 7 respondidos

1Completar los huecos15 ptsSin responder

Maximice $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=10$ . Complete el lagrangiano de este problema.

\displaystyle \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\,(x+y-\htmlData{blank=c}{\phantom{\rule[-0.35em]{2.4em}{1.35em}}})

2Respuesta numérica20 ptsSin responder

Maximice $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=10$ . Use $\nabla f=\lambda\nabla g$ para hallar el $x$ óptimo.

x^* =

aceptado: ± 0.001

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Maximice $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=10$ . ¿Cuál es el valor máximo de $xy$ ?

f^* =

aceptado: ± 0.001

4Respuesta numérica15 ptsSin responder

Maximice $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=10$ . ¿Cuál es el valor del multiplicador $\lambda$ en el óptimo (de $\nabla f=\lambda\nabla g$ )?

\lambda =

aceptado: ± 0.001

5Elección10 ptsSin responder

En un óptimo con restricción, ¿qué relación hay entre $\nabla f$ y $\nabla g$ ?

6Respuesta numérica15 ptsSin responder

Minimice $x^2+y^2$ sujeto a $x+y=2$ . ¿Cuál es el valor mínimo? (Piense en una cartera de dos activos con pesos que suman 2 y los pesos al cuadrado como costo.)

V^* =

aceptado: ± 0.001

7Explicar con palabras10 ptsSin responder

En una o dos frases, diga qué le dice el multiplicador $\lambda$ sobre la restricción.

Se califica por:Es la tasa de cambio del valor óptimoCuando la restricción se relaja en una unidadActúa como precio sombra de la restricción0 / 400 caracteres

Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 7 · Ctrl ⏎ para comprobar

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\nabla f=\lambda\,\nabla g,\qquad g(x,y)=c

(1)

Un problema de presupuestoMaximicemos

f=xy

sujeto a

x+y=10

. Aquí

\nabla f=(y,x)

\nabla g=(1,1)

, así que

y=\lambda

x=\lambda

, por tanto

x=y=5

\lambda=5

y el máximo es 25. Si el presupuesto sube a 11, el máximo pasa a ser

5{,}5\times5{,}5=30{,}25

: una ganancia de 5,25, cercana a

\lambda\times1=5

x\ge0

) requieren las condiciones KKT, que extienden esta idea.

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El x óptimo20 pts
El valor máximo15 pts
El multiplicador15 pts
La geometría10 pts
Una minimización15 pts
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1Completar los huecos15 ptsSin responder

Maximice $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=10$ . Complete el lagrangiano de este problema.

\displaystyle \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\,(x+y-\htmlData{blank=c}{\phantom{\rule[-0.35em]{2.4em}{1.35em}}})

2Respuesta numérica20 ptsSin responder

Maximice $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=10$ . Use $\nabla f=\lambda\nabla g$ para hallar el $x$ óptimo.

x^* =

aceptado: ± 0.001

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Maximice $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=10$ . ¿Cuál es el valor máximo de $xy$ ?

f^* =

aceptado: ± 0.001

4Respuesta numérica15 ptsSin responder

Maximice $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=10$ . ¿Cuál es el valor del multiplicador $\lambda$ en el óptimo (de $\nabla f=\lambda\nabla g$ )?

\lambda =

aceptado: ± 0.001

5Elección10 ptsSin responder

En un óptimo con restricción, ¿qué relación hay entre $\nabla f$ y $\nabla g$ ?

6Respuesta numérica15 ptsSin responder

Minimice $x^2+y^2$ sujeto a $x+y=2$ . ¿Cuál es el valor mínimo? (Piense en una cartera de dos activos con pesos que suman 2 y los pesos al cuadrado como costo.)

V^* =

aceptado: ± 0.001

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