Dos maneras de obtener una griega
Las griegas miden cómo reacciona el precio de una opción a sus entradas. El delta $\Delta=\frac{\partial C}{\partial S}$ es el cambio por unidad del precio de la acción, el gamma $\Gamma=\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$ es la rapidez con que cambia el propio delta y el vega $\mathcal{V}=\frac{\partial C}{\partial\sigma}$ es el cambio por unidad de volatilidad. Son las derivadas parciales y los coeficientes de Taylor de esta habilidad, aplicados a un precio.
Para un call de Black-Scholes las derivadas tienen formas cerradas: $\Delta=N(d_1)$, $\Gamma=\frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}$ y $\mathcal{V}=S\,\varphi(d_1)\sqrt{T}$, donde $N$ es la función de distribución normal estándar y $\varphi$ su densidad. Las formas cerradas son exactas y rápidas, pero la mayoría de los valoradores reales (exóticos, Monte Carlo, modelos calibrados) no las tienen.
Ahí entran las diferencias finitas: se desplaza una entrada hacia arriba y hacia abajo, se revalora y se divide. El delta es una diferencia centrada $\frac{C(S+h)-C(S-h)}{2h}$, el vega lo mismo en $\sigma$, y el gamma una diferencia segunda $\frac{C(S+h)-2C(S)+C(S-h)}{h^2}$. La única decisión es el tamaño del desplazamiento $h$: demasiado grande y la pendiente es burda, demasiado pequeño y domina el ruido de redondeo (véase el tema de límites). Comparar las diferencias finitas con una forma cerrada es la prueba estándar de que un valorador y sus griegas son correctos.
Lab: qué se califica
- El precio de Black-Scholes25 pts
- Una diferencia centrada25 pts
- Las griegas con fórmulas25 pts
- Las griegas por diferencias finitas25 pts