Zwei Wege zu einem Greek
Die Greeks messen, wie der Preis einer Option auf ihre Eingaben reagiert. Delta $\Delta=\frac{\partial C}{\partial S}$ ist die Änderung je Einheit Aktienkurs, Gamma $\Gamma=\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$ ist, wie schnell sich das Delta selbst ändert, und Vega $\mathcal{V}=\frac{\partial C}{\partial\sigma}$ ist die Änderung je Einheit Volatilität. Es sind die partiellen Ableitungen und Taylor-Koeffizienten dieser Fähigkeit, angewandt auf einen Preis.
Für einen Black-Scholes-Call haben die Ableitungen geschlossene Formen: $\Delta=N(d_1)$, $\Gamma=\frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}$ und $\mathcal{V}=S\,\varphi(d_1)\sqrt{T}$, wobei $N$ die Standardnormalverteilungsfunktion und $\varphi$ ihre Dichte ist. Geschlossene Formen sind exakt und schnell, doch die meisten echten Bewertungsmodelle (Exoten, Monte-Carlo, kalibrierte Modelle) haben keine.
Hier kommen finite Differenzen ins Spiel: Eine Eingabe nach oben und unten verschieben, neu bewerten und teilen. Delta ist ein zentraler Differenzenquotient $\frac{C(S+h)-C(S-h)}{2h}$, Vega dasselbe in $\sigma$, und Gamma ein zweiter Differenzenquotient $\frac{C(S+h)-2C(S)+C(S-h)}{h^2}$. Die einzige Wahl ist die Verschiebung $h$: zu groß, und die Steigung ist grob, zu klein, und Rundungsrauschen dominiert (siehe das Thema Grenzwerte). Finite Differenzen mit einer geschlossenen Form zu vergleichen ist der Standardtest, dass ein Bewertungsmodell und seine Greeks stimmen.
Lab: Was bewertet wird
- Der Black-Scholes-Preis25 Pkt.
- Ein zentraler Differenzenquotient25 Pkt.
- Greeks aus Formeln25 Pkt.
- Greeks per finiten Differenzen25 Pkt.