Duas formas de obter uma grega
As gregas medem como o preço de uma opção reage às suas entradas. O delta $\Delta=\frac{\partial C}{\partial S}$ é a variação por unidade do preço da ação, a gama $\Gamma=\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$ é a rapidez com que o próprio delta muda e a vega $\mathcal{V}=\frac{\partial C}{\partial\sigma}$ é a variação por unidade de volatilidade. São as derivadas parciais e os coeficientes de Taylor desta habilidade, aplicados a um preço.
Para uma call de Black-Scholes as derivadas têm formas fechadas: $\Delta=N(d_1)$, $\Gamma=\frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}$ e $\mathcal{V}=S\,\varphi(d_1)\sqrt{T}$, em que $N$ é a função de distribuição normal padrão e $\varphi$ sua densidade. Formas fechadas são exatas e rápidas, mas a maioria dos precificadores reais (exóticos, Monte Carlo, modelos calibrados) não as tem.
É aí que entram as diferenças finitas: desloca-se uma entrada para cima e para baixo, reprecifica-se e divide-se. O delta é uma diferença central $\frac{C(S+h)-C(S-h)}{2h}$, a vega o mesmo em $\sigma$, e a gama uma diferença segunda $\frac{C(S+h)-2C(S)+C(S-h)}{h^2}$. A única escolha é o tamanho do deslocamento $h$: grande demais e a inclinação é grosseira, pequeno demais e o ruído de arredondamento domina (veja o tópico de limites). Comparar diferenças finitas com uma forma fechada é o teste padrão de que um precificador e suas gregas estão corretos.
Lab: o que é avaliado
- O preço de Black-Scholes25 pts
- Uma diferença central25 pts
- As gregas pelas fórmulas25 pts
- As gregas por diferenças finitas25 pts