Deux façons d'obtenir une Grecque
Les Grecques mesurent comment le prix d'une option réagit à ses entrées. Le delta $\Delta=\frac{\partial C}{\partial S}$ est la variation par unité de cours de l'action, le gamma $\Gamma=\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$ mesure la vitesse de variation du delta lui-même, et le vega $\mathcal{V}=\frac{\partial C}{\partial\sigma}$ est la variation par unité de volatilité. Ce sont les dérivées partielles et les coefficients de Taylor de cette compétence, appliqués à un prix.
Pour un call de Black-Scholes, les dérivées ont des formes fermées : $\Delta=N(d_1)$, $\Gamma=\frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}$ et $\mathcal{V}=S\,\varphi(d_1)\sqrt{T}$, où $N$ est la fonction de répartition normale standard et $\varphi$ sa densité. Les formes fermées sont exactes et rapides, mais la plupart des vrais pricers (exotiques, Monte Carlo, modèles calibrés) n'en ont pas.
C'est là qu'interviennent les différences finies : on décale une entrée vers le haut et vers le bas, on revalorise et l'on divise. Le delta est une différence centrée $\frac{C(S+h)-C(S-h)}{2h}$, le vega la même en $\sigma$, et le gamma une différence seconde $\frac{C(S+h)-2C(S)+C(S-h)}{h^2}$. Le seul choix est la taille du décalage $h$ : trop grand, la pente est grossière ; trop petit, le bruit d'arrondi domine (voir le sujet sur les limites). Comparer les différences finies à une forme fermée est le test standard qu'un pricer et ses Grecques sont corrects.
Lab : ce qui est noté
- Le prix de Black-Scholes25 pts
- Une différence centrée25 pts
- Les Grecques par les formules25 pts
- Les Grecques par différences finies25 pts