標本空間と事象

結果・事象・確率

確率的な試行には、起こりうるすべての結果の集合である標本空間 $\Omega$ があります。サイコロの6つの目や、株価が上昇・下落・変わらずで終わるか、などです。事象は関心のある結果の集合で、たとえば「株価が上昇して終わる」です。確率 $P$ は各事象に0から1の数を割り当て、 $P(\Omega)=1$ で、同時に起こりえない事象の確率は足し合わせられます。

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\qquad P(A^{c})=1-P(A)

(1)

$A\cap B$ が空集合のとき2つの事象は排反で、 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ のとき独立です。独立なら片方を知っても他方についての情報は増えません。この2つは別の概念で、確率が正の排反事象は強く従属しています。一方が起きれば他方は起きないからです。結果が同様に確からしいときは、 $P(A)$ は $A$ に含まれる結果の数を全体の数で割ったものなので、数え上げが道具になります。

数え上げと余事象2つのサイコロの和が7になるのは、同様に確からしい36通りのうち6通りなので、確率は

6/36=1/6

です。独立な3つの取引がそれぞれ確率0.6で勝つとします。「少なくとも1つ勝つ」は足し上げが面倒ですが、余事象「1つも勝たない」は単純な積で

0.4^3=0.064

、したがって

P(\text{少なくとも1つ})=1-0.064=0.936

です。

標本空間：起こりうるすべての結果。事象：結果の集合。
排反：同時に起こらない。独立： $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。
余事象： $P(A^{c})=1-P(A)$ 。「少なくとも1つ」に使う。

排反は独立を意味しない「株価が上昇して終わる」と「下落して終わる」は排反です。上昇で終わったと分かれば下落でないことは確実で、事象としてはこれ以上ないほど従属しています。独立にはかけ算の規則が必要で、ポジション間で損失確率を掛け合わせるときに（しばしば誤って）仮定していることです。

ラボ：採点される内容

結果を数える15点
加法定理15点
排反な事象15点
余事象と独立15点
用語15点
少なくとも1つ勝つ15点
余事象を使う理由10点

結果・事象・確率

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\qquad P(A^{c})=1-P(A)

(1)

数え上げと余事象2つのサイコロの和が7になるのは、同様に確からしい36通りのうち6通りなので、確率は

6/36=1/6

です。独立な3つの取引がそれぞれ確率0.6で勝つとします。「少なくとも1つ勝つ」は足し上げが面倒ですが、余事象「1つも勝たない」は単純な積で

0.4^3=0.064

、したがって

P(\text{少なくとも1つ})=1-0.064=0.936

です。

標本空間：起こりうるすべての結果。事象：結果の集合。
排反：同時に起こらない。独立： $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。
余事象： $P(A^{c})=1-P(A)$ 。「少なくとも1つ」に使う。

ラボ：採点される内容

結果を数える15点
加法定理15点
排反な事象15点
余事象と独立15点
用語15点
少なくとも1つ勝つ15点
余事象を使う理由10点

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