Univers et événements

Issues, événements et probabilités

Une expérience aléatoire a un univers $\Omega$ , l'ensemble de ses issues possibles : les six faces d'un dé, ou le fait qu'une action termine en hausse, en baisse ou inchangée. Un événement est un ensemble d'issues qui vous intéressent, par exemple « l'action termine en hausse ». Une probabilité $P$ attribue à chaque événement un nombre entre 0 et 1, avec $P(\Omega)=1$ , et les probabilités d'événements incompatibles s'additionnent.

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\qquad P(A^{c})=1-P(A)

(1)

Deux événements sont incompatibles quand $A\cap B$ est vide, et indépendants quand $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ : en connaître un n'apprend rien sur l'autre. Ce sont des notions différentes : des événements incompatibles de probabilité positive sont fortement dépendants, car la réalisation de l'un exclut l'autre. Pour des issues équiprobables, $P(A)$ est le nombre d'issues de $A$ divisé par le total : le dénombrement est l'outil.

Dénombrer et passer au complémentaireDeux dés totalisent 7 de 6 façons parmi 36 équiprobables, donc la probabilité est

6/36=1/6

. Trois paris indépendants gagnent chacun avec une probabilité de 0,6. « Au moins un gagne » est pénible à additionner, mais son complémentaire « aucun ne gagne » est un simple produit :

0{,}4^3=0{,}064

, donc

P(\text{au moins un})=1-0{,}064=0{,}936

Univers : toutes les issues possibles. Événement : un ensemble d'issues.
Incompatibles : ne peuvent se produire ensemble. Indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .
Complémentaire : $P(A^{c})=1-P(A)$ ; à utiliser pour « au moins un ».

Exclusif ne veut pas dire indépendant« L'action termine en hausse » et « l'action termine en baisse » sont incompatibles : savoir qu'elle a fini en hausse vous dit avec certitude qu'elle n'a pas fini en baisse, elles sont aussi dépendantes que possible. L'indépendance exige la règle du produit et c'est ce que vous supposez (souvent à tort) quand vous multipliez des probabilités de pertes entre positions.

Lab : ce qui est noté

Dénombrer des issues15 pts
La règle d'addition15 pts
Événements incompatibles15 pts
Complémentaire et indépendance15 pts
Le vocabulaire15 pts
Au moins un gagnant15 pts
Pourquoi passer au complémentaire10 pts

Issues, événements et probabilités

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\qquad P(A^{c})=1-P(A)

(1)

Dénombrer et passer au complémentaireDeux dés totalisent 7 de 6 façons parmi 36 équiprobables, donc la probabilité est

6/36=1/6

. Trois paris indépendants gagnent chacun avec une probabilité de 0,6. « Au moins un gagne » est pénible à additionner, mais son complémentaire « aucun ne gagne » est un simple produit :

0{,}4^3=0{,}064

, donc

P(\text{au moins un})=1-0{,}064=0{,}936

Univers : toutes les issues possibles. Événement : un ensemble d'issues.
Incompatibles : ne peuvent se produire ensemble. Indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .
Complémentaire : $P(A^{c})=1-P(A)$ ; à utiliser pour « au moins un ».

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La règle d'addition15 pts
Événements incompatibles15 pts
Complémentaire et indépendance15 pts
Le vocabulaire15 pts
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