Probabilité conditionnelle et règle de Bayes

Position dans le parcoursModule 1 sur 5 · Sujet 2 sur 2

1.2 Probabilité conditionnelle et règle de Bayes

—Score du lab— / 100XP total—Série—

Mettre à jour avec une information

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ : on se limite aux cas où $B$ s'est produit et l'on demande à quelle fréquence $A$ s'est aussi produit. Réarrangée, c'est la règle de multiplication, $P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B)$ . Des événements sont indépendants exactement quand $P(A\mid B)=P(A)$ .

P(B)=\sum_i P(B\mid A_i)P(A_i),\qquad P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}

(1)

La formule des probabilités totales décompose $B$ selon des cas incompatibles et exhaustifs $A_i$ . La règle de Bayes inverse alors un conditionnement : à partir de la vraisemblance de l'indice dans chaque cas, $P(B\mid A)$ , elle donne la probabilité de chaque cas sachant l'indice, $P(A\mid B)$ . La probabilité de départ $P(A)$ est l'a priori et le résultat l'a posteriori. L'erreur la plus courante est d'ignorer l'a priori (le taux de base).

Un filtre de défaut le plus souvent fauxUn modèle signale les entreprises susceptibles de faire défaut. 2 % des entreprises font défaut ; le modèle signale 90 % des défaillantes et aussi 10 % des saines. Alors

P(\text{alerte})=0{,}9\cdot0{,}02+0{,}1\cdot0{,}98=0{,}116

P(\text{défaut}\mid\text{alerte})=\dfrac{0{,}9\cdot0{,}02}{0{,}116}\approx0{,}155

. Une entreprise signalée ne fait défaut que dans 15,5 % des cas : le modèle est « fiable à 90 % » sur les défaillantes, mais 84,5 % de ses alertes sont de fausses alertes.

Conditionnelle : $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ , la probabilité dans le monde où $B$ s'est produit.
Probabilités totales : sommez $P(B\mid A_i)P(A_i)$ sur tous les cas.
Bayes : a posteriori = vraisemblance × a priori ÷ preuve. Ne confondez pas $P(B\mid A)$ et $P(A\mid B)$ .

Événements rares et taux de baseTout filtre pour un événement rare, qu'il s'agisse de fraude, de défaut ou d'un signal de trading qui marche, produit surtout de faux positifs à moins d'être extrêmement précis, car les nombreux non-événements submergent les rares vrais. Demandez toujours « quelle part des positifs est réelle ? », pas seulement « à quelle fréquence attrape-t-il les vrais ? ».

Lab : ce qui est noté

Une probabilité conditionnelle15 pts
La probabilité d'une alerte15 pts
L'a posteriori20 pts
Le conditionnement inversé15 pts
Les étapes d'une mise à jour bayésienne15 pts
Un test à 90 % le plus souvent faux20 pts

0/ 6 traités

1Réponse numérique15 ptsSans réponse

$P(A\cap B)=0{,}12$ et $P(B)=0{,}30$ . Trouvez $P(A\mid B)$ .

P(A\mid B) =

accepté : ± 0.001

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

Un filtre de défaut : 2 % des entreprises font défaut, le modèle signale 90 % des défaillantes et 10 % des saines. Quelle est la probabilité globale qu'une entreprise tirée au hasard soit signalée ? Donnez-la à trois décimales.

P(\text{flag}) =

accepté : ± 0.0006

3Réponse numérique20 ptsSans réponse

Un filtre de défaut : 2 % des entreprises font défaut, le modèle signale 90 % des défaillantes et 10 % des saines. Une entreprise est signalée. Quelle est la probabilité qu'elle fasse réellement défaut ? Donnez-la à trois décimales.

P(\text{default}\mid\text{flag}) =

accepté : ± 0.001

4Choix15 ptsSans réponse

Un filtre de défaut : 2 % des entreprises font défaut, le modèle signale 90 % des défaillantes et 10 % des saines. Un gérant dit : « Le modèle détecte 90 % des défaillantes, donc une entreprise signalée a 90 % de chances de faire défaut. » Qu'est-ce qui ne va pas ?

5Remettre les étapes dans l'ordre15 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes de calcul de P(défaut | alerte).

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Additionner les deux façons d'être signalée pour obtenir P(alerte)
2Diviser la probabilité défaillante-et-signalée par P(alerte)
3Écrire l'a priori P(défaut) et les vraisemblances P(alerte | défaut) et P(alerte | saine)
4Multiplier chaque vraisemblance par l'a priori de son cas

6Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse

En deux phrases, expliquez pourquoi la plupart des alertes sont fausses alors que le modèle détecte 90 % des défaillantes.

Noté sur :Les défauts sont rares, donc le taux de base est minusculeLes nombreuses saines produisent plus de fausses alertes que les rares défaillantes de détections0 / 400 caractères

Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 6 · Ctrl ⏎ pour vérifier

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P(B)=\sum_i P(B\mid A_i)P(A_i),\qquad P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}

(1)

P(\text{alerte})=0{,}9\cdot0{,}02+0{,}1\cdot0{,}98=0{,}116

P(\text{défaut}\mid\text{alerte})=\dfrac{0{,}9\cdot0{,}02}{0{,}116}\approx0{,}155

. Une entreprise signalée ne fait défaut que dans 15,5 % des cas : le modèle est « fiable à 90 % » sur les défaillantes, mais 84,5 % de ses alertes sont de fausses alertes.

Conditionnelle : $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ , la probabilité dans le monde où $B$ s'est produit.
Probabilités totales : sommez $P(B\mid A_i)P(A_i)$ sur tous les cas.
Bayes : a posteriori = vraisemblance × a priori ÷ preuve. Ne confondez pas $P(B\mid A)$ et $P(A\mid B)$ .

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La probabilité d'une alerte15 pts
L'a posteriori20 pts
Le conditionnement inversé15 pts
Les étapes d'une mise à jour bayésienne15 pts
Un test à 90 % le plus souvent faux20 pts

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$P(A\cap B)=0{,}12$ et $P(B)=0{,}30$ . Trouvez $P(A\mid B)$ .

P(A\mid B) =

accepté : ± 0.001

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

P(\text{flag}) =

accepté : ± 0.0006

3Réponse numérique20 ptsSans réponse

P(\text{default}\mid\text{flag}) =

accepté : ± 0.001

4Choix15 ptsSans réponse

5Remettre les étapes dans l'ordre15 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes de calcul de P(défaut | alerte).

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Additionner les deux façons d'être signalée pour obtenir P(alerte)
2Diviser la probabilité défaillante-et-signalée par P(alerte)
3Écrire l'a priori P(défaut) et les vraisemblances P(alerte | défaut) et P(alerte | saine)
4Multiplier chaque vraisemblance par l'a priori de son cas

6Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse

En deux phrases, expliquez pourquoi la plupart des alertes sont fausses alors que le modèle détecte 90 % des défaillantes.

Noté sur :Les défauts sont rares, donc le taux de base est minusculeLes nombreuses saines produisent plus de fausses alertes que les rares défaillantes de détections0 / 400 caractères

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