情報で確率を更新する
B が起きたときの A の条件付き確率は P(A∣B)=P(B)P(A∩B) です。B が起きた場合だけに注目し、そのうち A も起きた割合を見ます。式を変形すると乗法定理 P(A∩B)=P(A∣B)P(B) です。P(A∣B)=P(A) のとき、またそのときに限り、2つの事象は独立です。
P(B)=i∑P(B∣Ai)P(Ai),P(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)(1) 全確率の公式は、互いに排反で網羅的な場合 Ai に B を分解します。ベイズの定理はそこで条件を逆向きにします。各場合での証拠の起こりやすさ P(B∣A) から、証拠が与えられたときの各場合の確からしさ P(A∣B) を求めます。出発点の P(A) が事前確率、結果が事後確率です。最もよくある間違いは事前確率（基準率）を無視することです。
ほとんど外れるデフォルト判定あるモデルがデフォルトしそうな企業に警告を出します。企業の2%がデフォルトし、モデルはデフォルト企業の90%に、健全企業の10%にも警告します。すると
P(警告)=0.9⋅0.02+0.1⋅0.98=0.116、
P(デフォルト∣警告)=0.1160.9⋅0.02≈0.155 です。警告された企業が実際にデフォルトするのは約15.5%だけで、モデルはデフォルト企業に対して「90%正確」でも、警告の84.5%は誤警報です。
- 条件付き：P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)。B が起きた世界の中での確率。
- 全確率：すべての場合で P(B∣Ai)P(Ai) を足す。
- ベイズ：事後 = 尤度 × 事前 ÷ 証拠。P(B∣A) と P(A∣B) を混同しない。
まれな事象と基準率不正、デフォルト、本当に効くトレーディングシグナルなど、まれな事象を探すフィルターは、非常に高精度でない限り、大半が偽陽性になります。多数の非事象が少数の本物を圧倒するからです。「本物をどれだけ捕まえるか」だけでなく、「陽性のうち本物の割合はいくつか」を必ず問いましょう。
ラボ：採点される内容
- 条件付き確率15点
- 警告が出る確率15点
- 事後確率20点
- 条件の取り違え15点
- ベイズ更新の手順15点
- 90%でもほとんど外れる検査20点
