大きさの区分から実際のリターンへ
実際のリターンは「小」「大」ではなく、−3.0% や +0.4% のような数です。そこで各状態の出力は釣り鐘型の曲線になります。状態 j ではリターンが、その状態固有の平均 μj と標準偏差 σj の正規分布に従います。出力確率 Bj(r) は、観測されたリターン r におけるこの曲線の高さです。アルゴリズムの他の部分は変わりません。前向き、ビタビ、前向き後ろ向き、バウム・ウェルチが必要とするのは Bj(ot) の値だけです。Mステップでは、新しい μj と σj は、平滑化確率 γt(j) を重みとするリターンの加重平均と加重標準偏差になります。
Bj(r)=σj2π1exp(−2σj2(r−μj)2),μj=∑tγt(j)∑tγt(j)rt,σj2=∑tγt(j)∑tγt(j)(rt−μj)2(1) 穏やかな状態と荒れた状態を持つモデルは、2つの正規曲線の混合です。各曲線だけなら裾は薄いのですが、混合すると裾が厚くなります。標準偏差 σ の大きい荒れ状態は、平均的なボラティリティの正規曲線1つよりはるかに頻繁に大きな動きを生むからです。HMMが実際のリターンによく当てはまる理由の1つです。状態は物語も語ります。典型的には、小さな正の平均と低いボラティリティを持つ穏やかな状態と、負の平均と高いボラティリティを持つ荒れた状態が見つかり、荒れた状態は粘り強いので、暴落は固まって起こります。
-3%の日穏やかは平均
+0.05%、標準偏差
0.6%、荒れは平均
−0.10%、標準偏差
2.0%（いずれも1日あたり）とします。
−3% のリターンは、穏やかから
(−3−0.05)/0.6=−5.1 標準偏差離れていますが、荒れからは
(−3+0.10)/2=−1.45 標準偏差しか離れていません。曲線の高さは穏やかで
1.6×10−6、荒れで
0.0697。事前確率を穏やか
0.9、荒れ
0.1 とすると、荒れの事後確率は
0.1×0.0697/(0.1×0.0697+0.9×1.6×10−6)=0.9998 です。日次ボラティリティ
2% は年率で
2%×252=31.7% です。
- ガウス出力：各状態でリターンは固有の平均とボラティリティの正規分布に従う。
- リターンのMステップ：γt(j) を重みとする加重平均と加重標準偏差。
- 厚い裾が自然に得られる：穏やかと荒れの正規分布の混合は、1つの正規分布より裾が厚い。
ラボ：採点される内容
- zスコア15点
- 曲線の高さ15点
- 年率ボラティリティ15点
- どの状態だったか15点
- なぜ混合分布は裾が厚いのか10点
- 記号を結び付ける15点
- 荒れ状態とは何か15点
