Émissions gaussiennes pour les rendements

Des classes de taille aux vrais rendements

Les vrais rendements ne sont pas Petits ou Grands, ce sont des nombres comme $-3{,}0\%$ ou $+0{,}4\%$ . L'émission de chaque état devient donc une courbe en cloche : dans l'état $j$ , le rendement est normal de moyenne $\mu_j$ et d'écart type $\sigma_j$ propres. La probabilité d'émission $B_j(r)$ est la hauteur de cette courbe au rendement observé $r$ . Tout le reste des algorithmes est inchangé : forward, Viterbi, forward-backward et Baum-Welch ne demandent que les nombres $B_j(o_t)$ . À l'étape M, les nouveaux $\mu_j$ et $\sigma_j$ sont la moyenne pondérée et l'écart type pondéré des rendements, avec les probabilités lissées $\gamma_t(j)$ comme poids.

B_j(r)=\frac{1}{\sigma_j\sqrt{2\pi}}\exp\!\Big(-\frac{(r-\mu_j)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\Big),\qquad \mu_j=\frac{\sum_t\gamma_t(j)r_t}{\sum_t\gamma_t(j)},\qquad \sigma_j^{2}=\frac{\sum_t\gamma_t(j)(r_t-\mu_j)^{2}}{\sum_t\gamma_t(j)}

(1)

Un modèle à un état calme et un état orageux est un mélange de deux courbes normales. Chaque courbe seule a des queues fines, mais le mélange a des queues épaisses : l'état orageux, avec son grand $\sigma$ , produit de grands mouvements bien plus souvent qu'une seule courbe normale de volatilité moyenne. C'est une raison pour laquelle les HMM ajustent bien les vrais rendements. Les états racontent aussi une histoire. On trouve typiquement un état calme à moyenne légèrement positive et faible volatilité, et un état orageux à moyenne négative et forte volatilité, et l'état orageux est persistant, donc les krachs arrivent en grappes.

Un jour à -3 %Soit Calme de moyenne

+0{,}05\%

et d'écart type

0{,}6\%

, et Orageux de moyenne

-0{,}10\%

et d'écart type

2{,}0\%

par jour. Un rendement de

-3\%

est à

(-3-0{,}05)/0{,}6=-5{,}1

écarts types de Calme mais seulement à

(-3+0{,}10)/2=-1{,}45

d'Orageux. Les hauteurs de courbe sont

1{,}6\times10^{-6}

pour Calme et

0{,}0697

pour Orageux. Avec un a priori de

0{,}9

pour Calme et

0{,}1

pour Orageux, la probabilité a posteriori d'Orageux est

0{,}1\times0{,}0697\,/\,(0{,}1\times0{,}0697+0{,}9\times1{,}6\times10^{-6})=0{,}9998

. Une volatilité quotidienne de

2\%

fait

2\%\times\sqrt{252}=31{,}7\%

par an.

Émission gaussienne : dans chaque état le rendement est normal avec sa propre moyenne et sa propre volatilité.
Étape M pour les rendements : moyenne pondérée et écart type pondéré, avec $\gamma_t(j)$ comme poids.
Queues épaisses gratuites : un mélange de normales calme et orageuse a des queues plus épaisses qu'une seule normale.

Lab : ce qui est noté

Un score z15 pts
Une hauteur de courbe15 pts
Une volatilité annuelle15 pts
Quel état était-ce ?15 pts
Pourquoi un mélange a des queues épaisses10 pts
Associer les symboles15 pts
Ce qu'est l'état orageux15 pts

Des classes de taille aux vrais rendements

B_j(r)=\frac{1}{\sigma_j\sqrt{2\pi}}\exp\!\Big(-\frac{(r-\mu_j)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\Big),\qquad \mu_j=\frac{\sum_t\gamma_t(j)r_t}{\sum_t\gamma_t(j)},\qquad \sigma_j^{2}=\frac{\sum_t\gamma_t(j)(r_t-\mu_j)^{2}}{\sum_t\gamma_t(j)}

(1)

Un jour à -3 %Soit Calme de moyenne

+0{,}05\%

et d'écart type

0{,}6\%

, et Orageux de moyenne

-0{,}10\%

et d'écart type

2{,}0\%

par jour. Un rendement de

-3\%

est à

(-3-0{,}05)/0{,}6=-5{,}1

écarts types de Calme mais seulement à

(-3+0{,}10)/2=-1{,}45

d'Orageux. Les hauteurs de courbe sont

1{,}6\times10^{-6}

pour Calme et

0{,}0697

pour Orageux. Avec un a priori de

0{,}9

pour Calme et

0{,}1

pour Orageux, la probabilité a posteriori d'Orageux est

0{,}1\times0{,}0697\,/\,(0{,}1\times0{,}0697+0{,}9\times1{,}6\times10^{-6})=0{,}9998

. Une volatilité quotidienne de

2\%

fait

2\%\times\sqrt{252}=31{,}7\%

par an.

Émission gaussienne : dans chaque état le rendement est normal avec sa propre moyenne et sa propre volatilité.
Étape M pour les rendements : moyenne pondérée et écart type pondéré, avec $\gamma_t(j)$ comme poids.
Queues épaisses gratuites : un mélange de normales calme et orageuse a des queues plus épaisses qu'une seule normale.

Lab : ce qui est noté

Un score z15 pts
Une hauteur de courbe15 pts
Une volatilité annuelle15 pts
Quel état était-ce ?15 pts
Pourquoi un mélange a des queues épaisses10 pts
Associer les symboles15 pts
Ce qu'est l'état orageux15 pts

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