从大小分类到真实收益
真实收益不是“小”或“大”，而是 −3.0%、+0.4% 这样的数。于是每个状态的发射变成一条钟形曲线：在状态 j 下，收益服从有自己均值 μj 和标准差 σj 的正态分布。发射概率 Bj(r) 就是这条曲线在观测收益 r 处的高度。算法的其余部分都不变：前向、维特比、前向-后向和 Baum-Welch 只需要这些 Bj(ot)。在 M 步，新的 μj 和 σj 是以平滑概率 γt(j) 为权重的收益加权均值和加权标准差。
Bj(r)=σj2π1exp(−2σj2(r−μj)2),μj=∑tγt(j)∑tγt(j)rt,σj2=∑tγt(j)∑tγt(j)(rt−μj)2(1) 含平静和动荡两个状态的模型，是两条正态曲线的混合。每条曲线单独看尾部很薄，但混合之后尾部变厚：标准差 σ 很大的动荡状态产生大波动的频率，远高于单条平均波动率的正态曲线。这是 HMM 能很好拟合真实收益的原因之一。状态也会讲故事：通常会找到一个均值略为正、波动率低的平静状态，和一个均值为负、波动率高的动荡状态，而且动荡状态很黏，所以暴跌会成群出现。
一个 -3% 的日子设平静状态每天均值
+0.05%、标准差
0.6%，动荡状态均值
−0.10%、标准差
2.0%。
−3% 的收益离平静状态
(−3−0.05)/0.6=−5.1 个标准差，但离动荡状态只有
(−3+0.10)/2=−1.45 个。曲线高度：平静为
1.6×10−6，动荡为
0.0697。先验取平静
0.9、动荡
0.1，则动荡的后验概率为
0.1×0.0697/(0.1×0.0697+0.9×1.6×10−6)=0.9998。日波动率
2% 相当于年化
2%×252=31.7%。
- 高斯发射：在每个状态下，收益服从有自己均值和波动率的正态分布。
- 收益的 M 步：以 γt(j) 为权重的加权均值和加权标准差。
- 厚尾自然得到：平静与动荡两个正态的混合比单个正态尾部更厚。
实验：评分内容
- z 值15 分
- 曲线高度15 分
- 年化波动率15 分
- 是哪个状态15 分
- 为什么混合分布有厚尾10 分
- 配对符号15 分
- 动荡状态是什么15 分
