Emisiones gaussianas para rendimientos

De clases de tamaño a rendimientos reales

Los rendimientos reales no son Pequeños o Grandes, son números como $-3{,}0\%$ o $+0{,}4\%$ . Así que la emisión de cada estado pasa a ser una campana: en el estado $j$ el rendimiento es normal con su propia media $\mu_j$ y desviación típica $\sigma_j$ . La probabilidad de emisión $B_j(r)$ es la altura de esa curva en el rendimiento observado $r$ . Todo lo demás en los algoritmos sigue igual: forward, Viterbi, forward-backward y Baum-Welch solo piden los números $B_j(o_t)$ . En el paso M, los nuevos $\mu_j$ y $\sigma_j$ son la media ponderada y la desviación típica ponderada de los rendimientos, con las probabilidades suavizadas $\gamma_t(j)$ como pesos.

B_j(r)=\frac{1}{\sigma_j\sqrt{2\pi}}\exp\!\Big(-\frac{(r-\mu_j)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\Big),\qquad \mu_j=\frac{\sum_t\gamma_t(j)r_t}{\sum_t\gamma_t(j)},\qquad \sigma_j^{2}=\frac{\sum_t\gamma_t(j)(r_t-\mu_j)^{2}}{\sum_t\gamma_t(j)}

(1)

Un modelo con un estado tranquilo y uno tormentoso es una mezcla de dos curvas normales. Cada curva sola tiene colas finas, pero la mezcla tiene colas gruesas: el estado tormentoso, con su $\sigma$ grande, produce movimientos grandes mucho más a menudo que una sola curva normal de volatilidad media. Es una razón por la que los HMM ajustan bien los rendimientos reales. Los estados también cuentan una historia. Típicamente se halla un estado tranquilo con media pequeña y positiva y baja volatilidad, y un estado tormentoso con media negativa y alta volatilidad, y el tormentoso es persistente, así que las caídas llegan en grupos.

Un día de -3 %Sea Tranquilo con media

+0{,}05\%

y desviación típica

0{,}6\%

, y Tormentoso con media

-0{,}10\%

y desviación típica

2{,}0\%

al día. Un rendimiento de

-3\%

está a

(-3-0{,}05)/0{,}6=-5{,}1

desviaciones de Tranquilo pero solo a

(-3+0{,}10)/2=-1{,}45

de Tormentoso. Las alturas de las curvas son

1{,}6\times10^{-6}

para Tranquilo y

0{,}0697

para Tormentoso. Con una previa de

0{,}9

para Tranquilo y

0{,}1

para Tormentoso, la probabilidad posterior de Tormentoso es

0{,}1\times0{,}0697\,/\,(0{,}1\times0{,}0697+0{,}9\times1{,}6\times10^{-6})=0{,}9998

. Una volatilidad diaria del

2\%

2\%\times\sqrt{252}=31{,}7\%

al año.

Emisión gaussiana: en cada estado el rendimiento es normal con su propia media y volatilidad.
Paso M para rendimientos: media ponderada y desviación típica ponderada, con $\gamma_t(j)$ como pesos.
Colas gruesas gratis: una mezcla de normales tranquila y tormentosa tiene colas más gruesas que una sola normal.

Lab: qué se califica

Una puntuación z15 pts
Una altura de curva15 pts
Una volatilidad anual15 pts
¿Qué estado era?15 pts
Por qué una mezcla tiene colas gruesas10 pts
Emparejar los símbolos15 pts
Qué es el estado tormentoso15 pts

De clases de tamaño a rendimientos reales

B_j(r)=\frac{1}{\sigma_j\sqrt{2\pi}}\exp\!\Big(-\frac{(r-\mu_j)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\Big),\qquad \mu_j=\frac{\sum_t\gamma_t(j)r_t}{\sum_t\gamma_t(j)},\qquad \sigma_j^{2}=\frac{\sum_t\gamma_t(j)(r_t-\mu_j)^{2}}{\sum_t\gamma_t(j)}

(1)

Un día de -3 %Sea Tranquilo con media

+0{,}05\%

y desviación típica

0{,}6\%

, y Tormentoso con media

-0{,}10\%

y desviación típica

2{,}0\%

al día. Un rendimiento de

-3\%

está a

(-3-0{,}05)/0{,}6=-5{,}1

desviaciones de Tranquilo pero solo a

(-3+0{,}10)/2=-1{,}45

de Tormentoso. Las alturas de las curvas son

1{,}6\times10^{-6}

para Tranquilo y

0{,}0697

para Tormentoso. Con una previa de

0{,}9

para Tranquilo y

0{,}1

para Tormentoso, la probabilidad posterior de Tormentoso es

0{,}1\times0{,}0697\,/\,(0{,}1\times0{,}0697+0{,}9\times1{,}6\times10^{-6})=0{,}9998

. Una volatilidad diaria del

2\%

2\%\times\sqrt{252}=31{,}7\%

al año.

Emisión gaussiana: en cada estado el rendimiento es normal con su propia media y volatilidad.
Paso M para rendimientos: media ponderada y desviación típica ponderada, con $\gamma_t(j)$ como pesos.
Colas gruesas gratis: una mezcla de normales tranquila y tormentosa tiene colas más gruesas que una sola normal.

Lab: qué se califica

Una puntuación z15 pts
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¿Qué estado era?15 pts
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Emparejar los símbolos15 pts
Qué es el estado tormentoso15 pts

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