Gauß-Emissionen für Renditen

Von Größenklassen zu echten Renditen

Echte Renditen sind nicht Klein oder Groß, sondern Zahlen wie $-3{,}0\%$ oder $+0{,}4\%$. Die Emission jedes Zustands wird deshalb zu einer Glockenkurve: Im Zustand $j$ ist die Rendite normalverteilt mit eigenem Mittelwert $\mu_j$ und eigener Standardabweichung $\sigma_j$. Die Emissionswahrscheinlichkeit $B_j(r)$ ist die Höhe dieser Kurve an der beobachteten Rendite $r$. Alles andere in den Algorithmen bleibt gleich: Forward, Viterbi, Forward-Backward und Baum-Welch brauchen nur die Zahlen $B_j(o_t)$. Im M-Schritt sind die neuen $\mu_j$ und $\sigma_j$ der gewichtete Mittelwert und die gewichtete Standardabweichung der Renditen, mit den geglätteten Wahrscheinlichkeiten $\gamma_t(j)$ als Gewichten.

Ein Modell mit einem ruhigen und einem stürmischen Zustand ist eine Mischung aus zwei Normalkurven. Jede Kurve allein hat dünne Ränder, die Mischung aber dicke: Der stürmische Zustand mit seinem großen $\sigma$ erzeugt große Bewegungen weit häufiger als eine einzelne Normalkurve mit mittlerer Volatilität. Das ist ein Grund, warum HMMs echte Renditen gut treffen. Die Zustände erzählen auch eine Geschichte. Typisch findet man einen ruhigen Zustand mit kleinem positivem Mittelwert und niedriger Volatilität und einen stürmischen mit negativem Mittelwert und hoher Volatilität, und der stürmische ist beständig, Crashs kommen also in Gruppen.

• Gauß-Emission: In jedem Zustand ist die Rendite normal mit eigenem Mittelwert und eigener Volatilität.
• M-Schritt für Renditen: gewichteter Mittelwert und gewichtete Standardabweichung mit $\gamma_t(j)$ als Gewichten.
• Dicke Ränder gratis: Eine Mischung aus ruhiger und stürmischer Normalverteilung hat dickere Ränder als eine einzelne.

Lab: Was bewertet wird

• Ein z-Wert15 Pkt.
• Eine Kurvenhöhe15 Pkt.
• Eine Jahresvolatilität15 Pkt.
• Welcher Zustand war es?15 Pkt.
• Warum eine Mischung dicke Ränder hat10 Pkt.
• Symbole zuordnen15 Pkt.
• Was der stürmische Zustand ist15 Pkt.