Die Zahl der Regime wählen

Wie viele Regime genügen?

Soll der Markt zwei Regime haben, drei, vier? Allein nach der Anpassung lässt sich das nicht entscheiden. Ein Modell mit mehr Zuständen passt die Daten immer mindestens so gut an, weil es mehr Freiheit hat, und mit genug Zuständen würde es Rauschen anpassen. Wir brauchen einen Wert, der gute Anpassung belohnt, aber für jeden zusätzlichen Parameter einen Preis verlangt. Die zwei gängigen sind $\mathrm{AIC}=-2\ln L+2p$ und $\mathrm{BIC}=-2\ln L+p\ln n$, wobei $L$ die Likelihood der Daten, $p$ die Zahl freier Parameter und $n$ die Zahl der Beobachtungen ist. Niedriger ist besser. Der BIC verlangt bei großem $n$ mehr pro Parameter und bevorzugt daher einfachere Modelle.

Bei einem Gauß-HMM mit $K$ Zuständen sind die freien Parameter die $K(K-1)$ freien Übergangswahrscheinlichkeiten, die $K-1$ freien Anfangswahrscheinlichkeiten und je Zustand ein Mittelwert und eine Volatilität, also $p=K^{2}+2K-1$. An die $5.404$ Tagesrenditen des SPY angepasst, beträgt die Log-Likelihood $16.252$ für einen Zustand, $17.521$ für zwei, $17.803$ für drei und $17.877$ für vier. Der Gewinn sinkt schnell: $1.269$, dann $282$, dann nur $75$. Der BIC ist bei vier Zuständen am niedrigsten, aber seine Verbesserung gegenüber drei beträgt nur $72$, und der zusätzliche Zustand ist schwer zu interpretieren. Interpretierbarkeit, Stabilität auf neuen Daten und die Größe des Gewinns zählen so viel wie der Wert.

• Mehr Zustände passen immer besser, die Anpassung allein kann die Regimezahl also nicht wählen.
• AIC und BIC ziehen einen Preis je Parameter ab; der BIC verlangt $\ln n$ je Parameter und bevorzugt daher einfachere Modelle.
• Achten Sie auf die Größe des Gewinns und die Interpretierbarkeit, nicht nur auf den niedrigsten Wert.

Lab: Was bewertet wird

• Parameter von drei Zuständen10 Pkt.
• Parameter von zwei Zuständen10 Pkt.
• Ein BIC15 Pkt.
• Ein AIC15 Pkt.
• Der Gewinn durch einen vierten Zustand10 Pkt.
• Warum nicht einfach die beste Anpassung10 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Warum drei Regime behalten15 Pkt.