Elegir el número de regímenes

¿Cuántos regímenes bastan?

¿Debe el mercado tener dos regímenes, tres, cuatro? No se puede decidir solo por el ajuste. Un modelo con más estados siempre ajusta los datos al menos igual de bien, porque tiene más libertad, y con suficientes estados ajustaría el ruido. Hace falta una puntuación que premie un buen ajuste pero cobre un precio por cada parámetro extra. Las dos habituales son $\mathrm{AIC}=-2\ln L+2p$ y $\mathrm{BIC}=-2\ln L+p\ln n$, donde $L$ es la verosimilitud de los datos, $p$ el número de parámetros libres y $n$ el número de observaciones. Menor es mejor. El BIC cobra más por parámetro cuando $n$ es grande, así que prefiere modelos más simples.

Para un HMM gaussiano con $K$ estados, los parámetros libres son las $K(K-1)$ probabilidades de transición libres, las $K-1$ probabilidades iniciales libres y una media y una volatilidad por estado, es decir $p=K^{2}+2K-1$. Ajustada a los $5.404$ rendimientos diarios de SPY, la log-verosimilitud es $16.252$ con un estado, $17.521$ con dos, $17.803$ con tres y $17.877$ con cuatro. La ganancia cae rápido: $1.269$, luego $282$, luego solo $75$. El BIC es el más bajo con cuatro estados, pero su mejora sobre tres es solo de $72$, y el estado extra es difícil de interpretar. La interpretabilidad, la estabilidad con datos nuevos y el tamaño de la ganancia importan tanto como la puntuación.

• Más estados siempre ajustan mejor, así que el ajuste solo no puede elegir el número de regímenes.
• AIC y BIC restan un precio por parámetro; el BIC cobra $\ln n$ por parámetro y por eso prefiere modelos más simples.
• Mire el tamaño de la ganancia y la interpretabilidad, no solo la puntuación más baja.

Lab: qué se califica

• Parámetros de tres estados10 pts
• Parámetros de dos estados10 pts
• Un BIC15 pts
• Un AIC15 pts
• La ganancia de un cuarto estado10 pts
• Por qué no solo el mejor ajuste10 pts
• Emparejar el vocabulario15 pts
• Por qué mantener tres regímenes15 pts