Escolher o número de regimes

Quantos regimes bastam?

O mercado deve ter dois regimes, três, quatro? Não dá para decidir só pelo ajuste. Um modelo com mais estados sempre ajusta os dados ao menos tão bem, porque tem mais liberdade, e com estados suficientes ajustaria o ruído. Precisamos de uma pontuação que premie um bom ajuste mas cobre um preço por cada parâmetro extra. As duas comuns são $\mathrm{AIC}=-2\ln L+2p$ e $\mathrm{BIC}=-2\ln L+p\ln n$, em que $L$ é a verossimilhança dos dados, $p$ o número de parâmetros livres e $n$ o número de observações. Menor é melhor. O BIC cobra mais por parâmetro quando $n$ é grande, então prefere modelos mais simples.

Para um HMM gaussiano com $K$ estados, os parâmetros livres são as $K(K-1)$ probabilidades de transição livres, as $K-1$ probabilidades iniciais livres e uma média e uma volatilidade por estado, ou seja $p=K^{2}+2K-1$. Ajustada aos $5.404$ retornos diários do SPY, a log-verossimilhança é $16.252$ com um estado, $17.521$ com dois, $17.803$ com três e $17.877$ com quatro. O ganho cai rápido: $1.269$, depois $282$, depois só $75$. O BIC é o mais baixo com quatro estados, mas sua melhora sobre três é só de $72$, e o estado extra é difícil de interpretar. Interpretabilidade, estabilidade em dados novos e o tamanho do ganho importam tanto quanto a pontuação.

• Mais estados sempre ajustam melhor, então o ajuste sozinho não escolhe o número de regimes.
• AIC e BIC subtraem um preço por parâmetro; o BIC cobra $\ln n$ por parâmetro e por isso prefere modelos mais simples.
• Olhe o tamanho do ganho e a interpretabilidade, não só a pontuação mais baixa.

Lab: o que é avaliado

• Parâmetros de três estados10 pts
• Parâmetros de dois estados10 pts
• Um BIC15 pts
• Um AIC15 pts
• O ganho de um quarto estado10 pts
• Por que não só o melhor ajuste10 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• Por que manter três regimes15 pts