Emissões gaussianas para retornos

De classes de tamanho a retornos reais

Os retornos reais não são Pequenos ou Grandes, são números como $-3{,}0\%$ ou $+0{,}4\%$ . Então a emissão de cada estado vira uma curva em sino: no estado $j$ o retorno é normal com sua própria média $\mu_j$ e desvio padrão $\sigma_j$ . A probabilidade de emissão $B_j(r)$ é a altura dessa curva no retorno observado $r$ . Todo o resto dos algoritmos continua igual: forward, Viterbi, forward-backward e Baum-Welch só pedem os números $B_j(o_t)$ . No passo M, os novos $\mu_j$ e $\sigma_j$ são a média ponderada e o desvio padrão ponderado dos retornos, com as probabilidades suavizadas $\gamma_t(j)$ como pesos.

B_j(r)=\frac{1}{\sigma_j\sqrt{2\pi}}\exp\!\Big(-\frac{(r-\mu_j)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\Big),\qquad \mu_j=\frac{\sum_t\gamma_t(j)r_t}{\sum_t\gamma_t(j)},\qquad \sigma_j^{2}=\frac{\sum_t\gamma_t(j)(r_t-\mu_j)^{2}}{\sum_t\gamma_t(j)}

(1)

Um modelo com um estado calmo e um tempestuoso é uma mistura de duas curvas normais. Cada curva sozinha tem caudas finas, mas a mistura tem caudas grossas: o estado tempestuoso, com seu $\sigma$ grande, produz movimentos grandes muito mais vezes do que uma só curva normal de volatilidade média. É uma razão pela qual os HMM ajustam bem os retornos reais. Os estados também contam uma história. Tipicamente acha-se um estado calmo com média pequena e positiva e baixa volatilidade, e um tempestuoso com média negativa e alta volatilidade, e o tempestuoso é persistente, então as quedas chegam em grupos.

Um dia de -3 %Seja Calmo com média

+0{,}05\%

e desvio padrão

0{,}6\%

, e Tempestuoso com média

-0{,}10\%

e desvio padrão

2{,}0\%

ao dia. Um retorno de

-3\%

está a

(-3-0{,}05)/0{,}6=-5{,}1

desvios de Calmo mas só a

(-3+0{,}10)/2=-1{,}45

de Tempestuoso. As alturas das curvas são

1{,}6\times10^{-6}

para Calmo e

0{,}0697

para Tempestuoso. Com prior de

0{,}9

para Calmo e

0{,}1

para Tempestuoso, a probabilidade posterior de Tempestuoso é

0{,}1\times0{,}0697\,/\,(0{,}1\times0{,}0697+0{,}9\times1{,}6\times10^{-6})=0{,}9998

. Uma volatilidade diária de

2\%

2\%\times\sqrt{252}=31{,}7\%

ao ano.

Emissão gaussiana: em cada estado o retorno é normal com sua própria média e volatilidade.
Passo M para retornos: média ponderada e desvio padrão ponderado, com $\gamma_t(j)$ como pesos.
Caudas grossas de graça: uma mistura de normais calma e tempestuosa tem caudas mais grossas que uma só normal.

Lab: o que é avaliado

Um escore z15 pts
Uma altura de curva15 pts
Uma volatilidade anual15 pts
Qual estado era?15 pts
Por que uma mistura tem caudas grossas10 pts
Associar os símbolos15 pts
O que é o estado tempestuoso15 pts

De classes de tamanho a retornos reais

B_j(r)=\frac{1}{\sigma_j\sqrt{2\pi}}\exp\!\Big(-\frac{(r-\mu_j)^{2}}{2\sigma_j^{2}}\Big),\qquad \mu_j=\frac{\sum_t\gamma_t(j)r_t}{\sum_t\gamma_t(j)},\qquad \sigma_j^{2}=\frac{\sum_t\gamma_t(j)(r_t-\mu_j)^{2}}{\sum_t\gamma_t(j)}

(1)

Um dia de -3 %Seja Calmo com média

+0{,}05\%

e desvio padrão

0{,}6\%

, e Tempestuoso com média

-0{,}10\%

e desvio padrão

2{,}0\%

ao dia. Um retorno de

-3\%

está a

(-3-0{,}05)/0{,}6=-5{,}1

desvios de Calmo mas só a

(-3+0{,}10)/2=-1{,}45

de Tempestuoso. As alturas das curvas são

1{,}6\times10^{-6}

para Calmo e

0{,}0697

para Tempestuoso. Com prior de

0{,}9

para Calmo e

0{,}1

para Tempestuoso, a probabilidade posterior de Tempestuoso é

0{,}1\times0{,}0697\,/\,(0{,}1\times0{,}0697+0{,}9\times1{,}6\times10^{-6})=0{,}9998

. Uma volatilidade diária de

2\%

2\%\times\sqrt{252}=31{,}7\%

ao ano.

Emissão gaussiana: em cada estado o retorno é normal com sua própria média e volatilidade.
Passo M para retornos: média ponderada e desvio padrão ponderado, com $\gamma_t(j)$ como pesos.
Caudas grossas de graça: uma mistura de normais calma e tempestuosa tem caudas mais grossas que uma só normal.

Lab: o que é avaliado

Um escore z15 pts
Uma altura de curva15 pts
Uma volatilidade anual15 pts
Qual estado era?15 pts
Por que uma mistura tem caudas grossas10 pts
Associar os símbolos15 pts
O que é o estado tempestuoso15 pts

Emissões gaussianas para retornos

De classes de tamanho a retornos reais

Lab: o que é avaliado

Entre para executar o seu código.

Emissões gaussianas para retornos

De classes de tamanho a retornos reais

Lab: o que é avaliado

Entre para executar o seu código.