Choisir le nombre de régimes

Combien de régimes suffisent ?

Le marché doit-il avoir deux régimes, trois, quatre ? On ne peut pas décider par l'ajustement seul. Un modèle à plus d'états ajuste toujours au moins aussi bien les données, car il a plus de liberté, et avec assez d'états il ajusterait le bruit. Il faut un score qui récompense un bon ajustement mais fait payer chaque paramètre en plus. Les deux courants sont $\mathrm{AIC}=-2\ln L+2p$ et $\mathrm{BIC}=-2\ln L+p\ln n$, où $L$ est la vraisemblance des données, $p$ le nombre de paramètres libres et $n$ le nombre d'observations. Plus bas est mieux. Le BIC fait payer davantage par paramètre quand $n$ est grand, il préfère donc les modèles plus simples.

Pour un HMM gaussien à $K$ états, les paramètres libres sont les $K(K-1)$ probabilités de transition libres, les $K-1$ probabilités initiales libres et une moyenne et une volatilité par état, soit $p=K^{2}+2K-1$. Ajustée aux $5\,404$ rendements quotidiens de SPY, la log-vraisemblance vaut $16\,252$ pour un état, $17\,521$ pour deux, $17\,803$ pour trois et $17\,877$ pour quatre. Le gain chute vite : $1\,269$, puis $282$, puis seulement $75$. Le BIC est le plus bas pour quatre états, mais son amélioration sur trois n'est que de $72$, et l'état supplémentaire est difficile à interpréter. L'interprétabilité, la stabilité sur de nouvelles données et la taille du gain comptent autant que le score.

• Plus d'états ajustent toujours mieux, l'ajustement seul ne peut donc pas choisir le nombre de régimes.
• AIC et BIC retranchent un prix par paramètre ; le BIC fait payer $\ln n$ par paramètre et préfère donc les modèles plus simples.
• Regardez la taille du gain et l'interprétabilité, pas seulement le score le plus bas.

Lab : ce qui est noté

• Paramètres de trois états10 pts
• Paramètres de deux états10 pts
• Un BIC15 pts
• Un AIC15 pts
• Le gain d'un quatrième état10 pts
• Pourquoi pas simplement le meilleur ajustement10 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Pourquoi garder trois régimes15 pts