اختيار عدد الأنظمة

كم نظامًا يكفي؟

هل ينبغي أن يكون للسوق نظامان أم ثلاثة أم أربعة؟ لا يمكن الحسم بالملاءمة وحدها. فالنموذج ذو الحالات الأكثر يلائم البيانات دائمًا بجودة لا تقل، لأن حريته أكبر، ومع حالات كافية سيلائم الضجيج. ونحتاج إلى درجة تكافئ الملاءمة الجيدة وتفرض ثمنًا على كل معامل إضافي. والمشهوران هما $\mathrm{AIC}=-2\ln L+2p$ و$\mathrm{BIC}=-2\ln L+p\ln n$ حيث $L$ إمكان البيانات و$p$ عدد المعاملات الحرة و$n$ عدد الملاحظات. والأقل أفضل. ويفرض BIC ثمنًا أكبر لكل معامل حين يكون $n$ كبيرًا فيفضّل النماذج الأبسط.

في HMM غاوسي بـ $K$ حالة تكون المعاملات الحرة هي $K(K-1)$ احتمال انتقال حرًا و$K-1$ احتمالًا ابتدائيًا حرًا ومتوسطًا وتقلبًا لكل حالة أي $p=K^{2}+2K-1$. وعند ملاءمته لعوائد SPY اليومية البالغة $5{,}404$ يكون لوغاريتم الإمكان $16{,}252$ لحالة واحدة و$17{,}521$ لحالتين و$17{,}803$ لثلاث و$17{,}877$ لأربع. ويتراجع المكسب بسرعة: $1{,}269$ ثم $282$ ثم $75$ فقط. وأقل BIC عند أربع حالات لكن تحسنه على الثلاث $72$ فقط والحالة الإضافية يصعب تفسيرها. وقابلية التفسير والثبات على بيانات جديدة وحجم المكسب مهمة بقدر الدرجة.

• الحالات الأكثر تلائم دائمًا أفضل فلا تستطيع الملاءمة وحدها اختيار عدد الأنظمة.
• AIC وBIC يطرحان ثمنًا لكل معامل؛ ويفرض BIC مقدار $\ln n$ لكل معامل فيفضّل النماذج الأبسط.
• انظر إلى حجم المكسب وقابلية التفسير لا إلى أقل درجة فقط.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• معاملات ثلاث حالات10 نقطة
• معاملات حالتين10 نقطة
• BIC15 نقطة
• AIC15 نقطة
• مكسب حالة رابعة10 نقطة
• لماذا لا نكتفي بأفضل ملاءمة10 نقطة
• طابق المصطلحات15 نقطة
• لماذا نُبقي على ثلاثة أنظمة15 نقطة