Modèles hiérarchiques et rétrécissement

Position dans le parcoursModule 3 sur 3 · Sujet 1 sur 4

3.1 Modèles hiérarchiques et rétrécissement

—Score du lab— / 100XP total—Série—

Laisser de nombreuses estimations s'entraider

Imaginez que vous avez le rendement moyen de $50$ actions. Les plus belles sont en partie bonnes et en partie chanceuses. Un modèle hiérarchique dit que toutes les vraies moyennes $\theta_i$ viennent d'une même population, $\theta_i\sim N(\mu,\tau^{2})$ , et que chaque moyenne observée $y_i$ est la vraie moyenne plus un bruit d'erreur standard $s_i$ . Les données propres de l'action sont alors combinées avec le groupe : l'estimation est tirée vers la moyenne du groupe $\mu$ . Cette attraction s'appelle le rétrécissement.

B_i=\frac{s_i^{2}}{s_i^{2}+\tau^{2}},\qquad \hat\theta_i=B_i\,\mu+(1-B_i)\,y_i,\qquad \mathrm{sd}(\theta_i)=\left(\frac{1}{s_i^{2}}+\frac{1}{\tau^{2}}\right)^{-1/2}

(1)

Le facteur de rétrécissement $B_i$ est la part de poids donnée au groupe. Une action bruitée ( $s_i$ grand) a $B_i$ proche de $1$ et est fortement tirée vers la moyenne du groupe. Une action mesurée avec précision ( $s_i$ petit) garde presque sa propre valeur. Si vous ne connaissez pas $\tau^{2}$ , estimez-le à partir de la dispersion : la variance des $y_i$ entre actions vaut $\tau^{2}$ plus la moyenne des $s_i^{2}$ . Donc $\tau^{2}$ est cette variance moins le bruit moyen, jamais en dessous de $0$ . Si la dispersion n'est pas plus grande que ce que le bruit seul produirait, $\tau^{2}=0$ et toutes les actions partagent une seule estimation.

Deux actions de même moyenneSoit le groupe

\mu=8\%

avec

\tau=2\%

. L'action A a

y=14\%

avec

s=4\%

B=16/(16+4)=0{,}8

, donc l'estimation est

0{,}8\times8+0{,}2\times14=9{,}2\%

avec un écart type

1/\sqrt{1/16+1/4}=1{,}79\%

. L'action B a le même

y=14\%

mais un

s=1\%

précis :

B=1/(1+4)=0{,}2

, donc l'estimation est

0{,}2\times8+0{,}8\times14=12{,}8\%

. L'action bruitée est presque entièrement ramenée, la précise à peine.

Modèle hiérarchique : les vraies moyennes viennent d'une population commune, donc les données de chaque action aident toutes les autres.
Rétrécissement $B_i=s_i^{2}/(s_i^{2}+\tau^{2})$ : les estimations bruitées bougent beaucoup, les précises à peine.
Estimer $\tau^{2}$ : variance entre actions moins le bruit moyen, jamais sous $0$ .

Lab : ce qui est noté

Le facteur de rétrécissement15 pts
La moyenne rétrécie de A15 pts
La moyenne rétrécie de B10 pts
La dispersion a posteriori de A10 pts
Estimer tau carré15 pts
Qui est le plus rétréci10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi le rétrécissement aide15 pts

0/ 8 traités

1Réponse numérique15 ptsSans réponse

L'action A a une erreur standard $s=4\%$ et la dispersion du groupe est $\tau=2\%$ . Que vaut $B=s^{2}/(s^{2}+\tau^{2})$ ?

b =

accepté : ± 0.005

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

La moyenne du groupe est $\mu=8\%$ et l'action A a une moyenne $y=14\%$ . Que vaut la moyenne rétrécie $B\mu+(1-B)y$ avec $B=0{,}8$ , en pourcent ? Donnez deux décimales.

m =

%accepté : ± 0.03

3Réponse numérique10 ptsSans réponse

L'action B a aussi une moyenne $y=14\%$ mais son erreur standard n'est que $s=1\%$ , donc $B=1/(1+4)=0{,}2$ . Quelle est sa moyenne rétrécie, en pourcent ? Donnez deux décimales.

m =

%accepté : ± 0.03

4Réponse numérique10 ptsSans réponse

Quel est l'écart type a posteriori de la vraie moyenne de l'action A, $\big(1/s^{2}+1/\tau^{2}\big)^{-1/2}$ avec $s=4$ et $\tau=2$ , en pourcent ? Donnez deux décimales.

s =

%accepté : ± 0.02

5Réponse numérique15 ptsSans réponse

Entre les actions, la variance des moyennes observées vaut $30$ (en pourcent au carré) et la moyenne des $s_i^{2}$ vaut $20$ . Quelle est l'estimation de $\tau^{2}$ par la méthode des moments ?

t =

accepté : ± 0.01

6Choix10 ptsSans réponse

La moyenne de quelle action est la plus fortement tirée vers la moyenne du groupe ?

7Associer10 ptsSans réponse

Associez chaque symbole à son sens.

Choisissez le partenaire de chaque élément de gauche.

\mu

\tau

s_i

B_i

8Expliquer avec des mots15 ptsSans réponse

En une ou deux phrases, expliquez pourquoi rapprocher la moyenne de chaque action de la moyenne du groupe prédit en général mieux sa moyenne future que la moyenne brute.

Noté sur :Une partie d'une moyenne extrême est due au hasard et au bruitLe rapprocher de la moyenne retire cette part0 / 400 caractères

Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 8 · Ctrl ⏎ pour vérifier

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B_i=\frac{s_i^{2}}{s_i^{2}+\tau^{2}},\qquad \hat\theta_i=B_i\,\mu+(1-B_i)\,y_i,\qquad \mathrm{sd}(\theta_i)=\left(\frac{1}{s_i^{2}}+\frac{1}{\tau^{2}}\right)^{-1/2}

(1)

Deux actions de même moyenneSoit le groupe

\mu=8\%

avec

\tau=2\%

. L'action A a

y=14\%

avec

s=4\%

B=16/(16+4)=0{,}8

, donc l'estimation est

0{,}8\times8+0{,}2\times14=9{,}2\%

avec un écart type

1/\sqrt{1/16+1/4}=1{,}79\%

. L'action B a le même

y=14\%

mais un

s=1\%

précis :

B=1/(1+4)=0{,}2

, donc l'estimation est

0{,}2\times8+0{,}8\times14=12{,}8\%

. L'action bruitée est presque entièrement ramenée, la précise à peine.

Modèle hiérarchique : les vraies moyennes viennent d'une population commune, donc les données de chaque action aident toutes les autres.
Rétrécissement $B_i=s_i^{2}/(s_i^{2}+\tau^{2})$ : les estimations bruitées bougent beaucoup, les précises à peine.
Estimer $\tau^{2}$ : variance entre actions moins le bruit moyen, jamais sous $0$ .

Lab : ce qui est noté

Le facteur de rétrécissement15 pts
La moyenne rétrécie de A15 pts
La moyenne rétrécie de B10 pts
La dispersion a posteriori de A10 pts
Estimer tau carré15 pts
Qui est le plus rétréci10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi le rétrécissement aide15 pts

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1Réponse numérique15 ptsSans réponse

L'action A a une erreur standard $s=4\%$ et la dispersion du groupe est $\tau=2\%$ . Que vaut $B=s^{2}/(s^{2}+\tau^{2})$ ?

b =

accepté : ± 0.005

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

La moyenne du groupe est $\mu=8\%$ et l'action A a une moyenne $y=14\%$ . Que vaut la moyenne rétrécie $B\mu+(1-B)y$ avec $B=0{,}8$ , en pourcent ? Donnez deux décimales.

m =

%accepté : ± 0.03

3Réponse numérique10 ptsSans réponse

L'action B a aussi une moyenne $y=14\%$ mais son erreur standard n'est que $s=1\%$ , donc $B=1/(1+4)=0{,}2$ . Quelle est sa moyenne rétrécie, en pourcent ? Donnez deux décimales.

m =

%accepté : ± 0.03

4Réponse numérique10 ptsSans réponse

Quel est l'écart type a posteriori de la vraie moyenne de l'action A, $\big(1/s^{2}+1/\tau^{2}\big)^{-1/2}$ avec $s=4$ et $\tau=2$ , en pourcent ? Donnez deux décimales.

s =

%accepté : ± 0.02

5Réponse numérique15 ptsSans réponse

Entre les actions, la variance des moyennes observées vaut $30$ (en pourcent au carré) et la moyenne des $s_i^{2}$ vaut $20$ . Quelle est l'estimation de $\tau^{2}$ par la méthode des moments ?

t =

accepté : ± 0.01

6Choix10 ptsSans réponse

La moyenne de quelle action est la plus fortement tirée vers la moyenne du groupe ?

7Associer10 ptsSans réponse

Associez chaque symbole à son sens.

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\mu

\tau

s_i

B_i

8Expliquer avec des mots15 ptsSans réponse

En une ou deux phrases, expliquez pourquoi rapprocher la moyenne de chaque action de la moyenne du groupe prédit en général mieux sa moyenne future que la moyenne brute.

Noté sur :Une partie d'une moyenne extrême est due au hasard et au bruitLe rapprocher de la moyenne retire cette part0 / 400 caractères

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